Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
<5)
- (w°-и/j) = w'° А-А = А*.
Тогда
(6)
16т:2Л
- +а (1-cos 4т; w'°),
и это выражение содержит только одну координату да'0, Координата w°-
циклическая и, следовательно, У°=const; положим его равным У. Ввиду того,
что преобразование (5) У* не имеет детерминанта ±1, то У0 и У'0 не
являются четными переменными действия невозмущенной системы. Поэтому
необходимо У определить с помощью квантовых условий так, чтобы прц.
переходе к невозмущенной системе сумма У+У'° была бы четным числом,
кратным h.
При возмущенном движении вместо У'0 мы имеем интеграл действия
A = j A°dw'°= ф у 16rA4 [W-X (1-cos 4т: и/0;] -A dw'"
Для получения энергии, как функции переменных действия, решаем (9)
относительно к, и это решение подставляем в уравнение, вытекающие из (8)
В случае k>l, w'° совершает либрационное движение. В пределах либрации
(7)
k
где
<8)
Пользуясь сокращенной записью
имеем
(9)
У'= 8 ^2lAE(k).
к
(10)
k
266
и ийтеграл Е (k) распространяется на весь интервал с пределами
sin ф = ± -1.
В случае k < 1, (r)'° совершает движение вращения, он распространяется от 0
до 2л и E(k) обозначает эллиптический интеграл второго рода.
В дальнейших наших вычислениях мы будем различать два случая:
I. Когда J° ф JI,У'0 ф 0, невозмущенное движение имеет две неравные
частоты У2
Тогда W0- 1о~2д отлично от нуля и k исчезает вместе с X.
¦ О
Рис. 38.
Для достаточно малого I мы имеем движение вращения да'0 и для E(k) можно
использовать развертку ряда
(11)
Из (9) мы получаем:
* ... J'2 +Х
№ ~1&яаА^
и из (10)
(12) W= -.(/ЧЛ+i-
16r,2Av
И. Пусть А = А, У'° =0, т. е. частоты невозмущенного дви-
У2
жения равны друг другу. Тогда W0 - YfeM = знаменатель
в уравнении (8) будет порядка величины I и А2 для конечных значений Wx
имеет порядок величин 1.
Может наступить как либрация, так и вращение о"'0, и тогда не придется
пользоваться рядом (llj.
Для больших значений Wx k<\, следовательно, наступает вращение; для малых
значений Wx k>\, следовательно, наступает либрация. Пределы либрации
будут тем уже, чем меньше Wt.
287
Для Wx = О кривая, изображающая движение, свертывается
в плоскости w'°xJ'0 в центр либрации а/°=0, У'°=0 или а/° = -, У'°=0.
¦ 1
Отрицательных Wt не существует, так как J' было бы мнимой величиной (по
7).
Но если не учитывать квантовых условий, то все эти движения вполне
возможны, так как Wx может принимать непрерывный континуум значений.
По квантовой теории У может принимать только значения целых кратных чисел
от h; далее V' пропорциональной X (по 7), .следовательно, для малых X
может принимать произвольно малые значения.
Этим двум условиям удовлетворяет только значение
J'=0.
В случае вращения w'° это вообще невозможно, а при либрации возможно
только в предельном случае а/0 = 0, J'°=0 или
a>'°i У'о=0.
Итак, при возмущенном движении оба ротатора вращаются строго в одинаковых
фазах. Мы имеем только одну частоту и два квантовых условия.
Ставя требование о выполнении уравнений движения, не налагая при этом на
состояние условий стабильности, видим, что возможны и такие случаи, когда
а/о=1, У'°=0 и J'° = 0.
4 4
Но в каждой совокупности движений, определяющихся зна-/п 1 3
чениями а/° = -| или существуют движения вращения и движения либрации,
при которых значения намного отличаются
13 от их значений w'° = ^ или
13
Следовательно для w'° = j и наше движение с фазовым
соотношением в механическом смысле неустойчиво.
1 3
В случае w'°=~ и оно 'также не стабильно, в то время
как Н при этом обладает максимумом. Однако, мы будем рассматривать и
такие случаи, когда механически устойчивое движение в энергетическом
отношении является неустойчивым. Эти особенные виды движений отличаются
тем, что они представляют собой единственные решения уравнений движения
dw'° __ dH dJ'° ______________________ dH
~dt дГй'
268
где w'° - постоянно, следовательно, ротаторы вращаются с постоянной
разностью фаз. Из закона сохранения энергии
Н (7°, J'°, w'°) = W
вытекает, в силу постоянства J°, постоянство У .
Таким образом
Ш-=о
dw'° '
Решение этого уравнения по (6) будет
w'° = 0 - - -
'4' 2' 4'
Тогда из первого уравнения движения по (6) следует
/,0 = 0.
Здесь мы рассмотрели впервые пример, когда непосредственно с помощью
квантовых условий, из целой системы сложных механических движений
выделяется особенно простое движение в качестве стационарного состояния.
§ 45. Фазовые соотношения воровских атомов и молекул
Как уже было сказано выше, в астрономии случайное вырождение
невозмущенной системы представляет редкое исключение. Однако, в атомной
физике оно играет очень большую роль..С одной стороны, по представлениям
Бора о строении высших атомов, предполагается наличие в них целого ряда
однообразных траекторий; с другой стороны, по квантовой теории, периоды
кеплеровских движений всегда соизмеримы с различными главными квантовыми
числами, так как они относятся между собой, как кубы целых чисел.
Приведем здесь наиболее простой способ получения соотношений фаз, т. е.
