Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
движения в качестве стационарных движений или нет.
Если допустить, скажем, только стабильные движения, то может случиться,
что функция возмущения #2, имеет максимум, в противоположность
статической модели, где энергия всегда представляет минимум. При
допущении механических лабильных движений (их соседние движения
квантотеоретически запрещаются) может случиться, что этому соответствует
(минимум энергии) нормальное состояние.
Для того, чтобы обсудить этот вопрос, представим себе два электрона на
круговых кеплеровских орбитах (безразлично, вращаются ли они вокруг
одного ядра или вокруг различных ядер), возмущающих друг друга
незначительно.
Положение орбиты и форму ее мы будем представлять неизменными, И
рассмотрим только изменение фаз движения под влиянием возмущающих сил.
Энергия возмущенного движения равна
а невозмущенные -частоты будут:
Следовательно, для каждого квантового состояния 1ъ = пгк) они соизмеримы:
T1v1-|-'r2v2 = 0. Разлагая теперь посредством канонической подстановки
угловые переменные и переменные действия на вырождающие и невырождающие,
мы должны положить
где /2- вырождающая переменная действия. Образовывая теперь
мы видим, что это выражение для всех значений J отрицательно.
Имеем:
Бори-409-18
273
Таким образом, минимум энергии возмущения Ня здесь соответствует
неустойчивому движению. Легко заметить, что это соотношение свойств
связывается неравенством
w"<o,
где Н0 обозначает энергию невозмущенного кеплеро вского движения. Значит,
оно будет иметь место при том условии, если взаимодействуют друг с
другом, в каких-нибудь атомах или молекулах, траектории электронов. Из
наших соображений видно, что в случае одной степени свободы движения с
фазовыми соотношениями квантотеоретически суть единственно возможные. То
же самое можно сказать, если уравнение (Ь) решается разделением
переменных. Хотя доказато в общем случае необходимость соотношения фаз и
не представляется возможным, но зато можно показать, что существуют
возмущенные движения со степенью периодичности, равной ей же для
невозмущенных движений, для которых имеют место соотношения фаз и которие
подчиняются квантотеоретическим законам.
Диференциальное уравнение (5) эквивалентно системе канонических уравнений
• _дК • дК Ч*-др?' Pf--dqe>
где для К необходимо подставить выражение, вытекающее из левой стороны
(5), где вместо iiP подставлено "координаты" q<> dSt
и вместо подставлены сопряженные "импульсы pf :
(П) /С=4 ?
2 i VPp Р° +^г(#р )•
ра
При этом величины V~ ^7^/ необходимо рассматривать,
как постоянные. Механическая система, характеризуемая формулой (11), в
общем случае обладает многими положениями равновесия. Определим,
например, значения qf ~ <?° из уравнения
р
дК дНг
^-=0. иЧр иЯ?
р =0 есть система ре
нений. Поэтому
(12) "Цо~"0' -const
р
dq р dqt
Тогда q? =q°, рр = 0 есть система решений канонических урав-
274
представляет частный интеграл диференциального уравнения (5^. Для
нахождения его нужно предварительно вычислить из уравнения _
(13>
канонические значения w°p и положить
И72=77,(4).
Способ этот становится негодным только тогда, когда система уравнений
(13) не может быть решена относительно w(r), т. е. если исчезает
"детерминант Гессе"
д*На
dw°dw° р (r)
Найденное движение возмущенной системы обладает той же степенью
периодичности s, что и невозмущенное. То обстоятельство, что постоянные
w° могут иметь только определенные значения, означает соотношения фаз
возмущенного движения.
Движение только тогда будет устойчивым, если вспомогательные переменные
qp уравнения (11) вместо qf =q° обладают устойчивым равновесием. Тогда
соседние движения будут малыми колебаниями относительно рассматриваемого
нами движения. Что найденные здесь движения удовлетворяют квантовым
условиям, можно показать следующим образом. У° =const и равный значению,
которое он имел при невозмущенном движении; далее имеем
Р
следовательно, благодаря (12)
у0 _7
чем также квантуется Ур.
§ 46. Предельное вырождение
Оба исследованные случаи вырождения обладают той общей особенностью, ч го
траектория заполняла собой некоторую область в пространстве координат, а
именно область менее /измерений. Для многопериодических систем имеет
место третий случай вырождения, играющий большую роль в атомных проблемах
и (при применении исчислений возмущений) приводящий к типичным
затруднениям. Вследствие этого необходимо обобщить понятие вырождения и
многопериодическое движение считать
275
тогда вырожденным, когда траектория заполняет область числа измерений
низшего порядка, чем число степеней свободы.
Число измерений области, заполняющейся траекторией, мы будем называть
степенью периодичности наблюдаемого движе* ния. Таким образом, движение
всегда будет считаться вырожденным, если степень его периодичности будет
меньше f. В качестве невозмущенных систем мы будем всегда рассматривать
такие движения, которые можно описать введением разделяющихся переменных.
