Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Введем первым долгом угловые переменные и переменные действия да0, /°;
тогда
А=7
и для Ни Н2 полагается
о
- о-" =2
7Г со кт
В виду того, что.Mi полином нечетного порядка qu, имеем
(11) ^=7^ = 0.
Чтобы вычислить W2, необходимо отыскать коэфициент ряда Фурье Лт от Нх.
Пользуясь тождеством
4 sin a sin р sin у = - sin(a+p+Y)+sin (-a+P+T)+sin (а- Р+т)+
+sin(a+p -7),
преобразуем Нг в ряд Фурье. Итак получаем
(12) Нх =xS a"Ql (-sin 3<р*+3 sin <p*)+
к
+xS ^Q*Q Л- sin (2 fk+v )+2 sin <p, +sin (2<p* - <fj)] +
^ kj
+_i? amQkQ jQi [- sin (<p*+4fy +<?г) +3 sin (spA+"p> - )]•
4 kji
Располагая затем это выражение рядом Фурье, получаем
(13) Нх = ^ В, sin (tip) = ^Ат где
(и) д,=1(а-в_,).
259
Окончательно для коэфициентов получаем
* * ) остальные х равны 0),
Вх =
1 П ",
4 akQk
~~j- akj Q** Qj 4~atjQi2 Qj 2" abfl Q* Qj Qi
2 akjiQkQjQi о
Из
(т*=з,
остальные x равны 0)
(xt = 2, x,= 1, остальные x равны 0)
(** = 2, x,=-1, остальные x равны 0)
остальные x равны 0),
1,
остальные x равны 0)
(во всех остальных случаях).
1
(15)
!Ат:2=
\AZ |2=А Л_ = - (В, - 5_т)2 имеем:
A'=i <3а* Q*8+22 Q/ Qtf (W=1"
A'
* "64
64 a*/ Q*4 Qj
0
По (23) § 41 получаем:
все остальные х равны 0)
(К1=з,
все остальные х равны 0)
(Iх* 1=2, 1^1 = 1,
все остальные х равны 0),
(KI = N = N = 1>
все остальные х равны 0) (во всех остальных случаях).
к kj
4vIM*
v* Щ д\
hi
4v?-v9' у *
Л1 1 ZdA^j,
vj + vj+v" dJt vO+v"-v" ^ 0У*
w
d\>
dJ,
kfi_
¦ЭД:
260
.Величины Qk первого порядка относительно У, величины А - третьего и,
следовательно, W2-квадратичная форма У*.
Вследствие этого общую энергию можно записать следующим образом:
(17) и!'=!>2Л+^2,"-/Л
vt9 вичисляются из (16).
Легко видеть, что наши- вычисления делаются непригодными даже в этом
приближении в том случае, когда имеет место хотя бы одно из следующих
соизмерений:
т. е. если частота невозмущенной системы равна удвоенной другой частоте
или сумме двух других частот.
Формула (17) находит применение в теории термического расширения твердых
тел1 и в теории полосатых спектров многоатомных молекул2.
§ 43. Возмущения собственно вырожденной системы
Если частоты v° невозмущенной системы связаны между собой целым линейным
соотношением, то известные знаменатели членов в рядах § 41 превращаются в
нуль, и наш метод делается непригодным. Рассмотрим вначале случай
собственного вырождения, т. е. предположим, что частоты v° невозмущенного
движения связаны между собой тождественно относительно У0 соотношением
(xv°)=0.
В этом случае угловые переменные и переменные действия w°k, J°k можно
преобразовать так, что они переходят в новые невырождающие переменные J0*
и вырождающие w°p, J°? (vp=0)
(а-1, 2...s; p=s+l.../).
Тогда Н0 зависит только от Jl (§ 15).
Введем функцию
к
Делая подстановку в уравнение Гамильтона-Якоби
(7) § 41, мы снова приходим к уравнению (9). Но при следующем затем
усреднении по невозмущенному движению Нх (wV) остается зависимой от w?°.
Таким образом непосредственно
1 См. литературу М. Born, Atomtheorie des festen Zustandes, Leipzig,
1923 Encykl. d. math. Wiss. V. 25, § 29 f.
2 M. Born u E. Huckel, Physikal Zeitschr, Bd. 24, S. 1, 1923. М. В о
r n u Heisenberg, Ann. d. Phys,, Bd. 74, S., 1924.
261
применять наш способ исследования мы не можем. С физической стороны это
объясняется тем, что переменные w°, J°, входящие в угловые переменные и
переменные действия w, J возмущенного движения, далеко еще нельзя
определить, зная невозмущенное движение. Благодаря их вырождающему
характеру можно вместо J9° посредством подходящего выбора системы
координат ввести другие вырождающие переменные действия, которые не будут
уже целочисленно связанными с теми переменными.
Итак, нашей первой задачей является отыскание (вместо w9°,J9°) переменных
w?°,J9°. Для этого мы воспользуемся уже рассмотренным прежде методом
вековых возмущений jcp. § 18). Он состоит в отыскании преобразования
w°J0->w°J0 с таким расчетом, чтобы первый член усредненной по
невозбужденному движению функции возмущения Ну зависел только от J0; при
этом предполагается, что не тождественно нулю. К случаю, когда оно
тождественно превращается в нуль, мы еще вернемся
ниже. Нам предстоит теперь решить, как это было выше (§ 18),
уравнение Г амильтон а-Я к о б и:
(1) Д № J°?) = (П
Этот вопрос был уже нами подробно рассмотрен в § 18. Если он решается
посредством разделения переменных уравнения (1), то мы приходим к новым
угловым переменным и переменным действия wk°, J°k. Пусть
к
производящая функция преобразования, тогда
f0 = J0 + _^A
л а' Р Р 1 дтО
р
-0 о , dv{ - 0 * , dVt
0 О * -к Г
дЛ ' р 9 df9'
Введем теперь w\J\ в функцию Гамильтона нашего движения
(2) Я=Я0(Т°) +Х И, (ет°, 7°) + VИ2 {w%TD + . . .
и отыщем подобно тому, как мы этот делали в § 4, производящую функцию
_
S=S0-^S1+)*S2+ ....
канонического преобразования, переводящего переменные да(r), 7° в угловые
переменные и переменные действия wv Jk возмущенного движения.
