Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
434
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
достаточно велики, а с другой — достаточно малы, и эти два условия должны быть совместны. Именно по этой причине мы употребляем термин «гипотеза локального равновесия», понимая под этим предположение о возможности разбить макроскопическое тело на области указанным выше образом.
в. Постоянная Холла и магнетосопротивление. Как и в случае одного лишь постоянного и однородного электрического поля, здесь нет причин для возникновения координатной зависимости функции распределения и б' = б. Таким образом, уравнение (5.4'), написанное для электронов, принимает вид
При этом функция fi дается выражением (б.бв).
Преобразуем теперь второе слагаемое в левой части (7.36). Для этой цели воспользуемся известным из векторной алгебры равенством, справедливым для произвольных Еекторов а, Ь, с и d:
([v X 53], V^) = (у, [53 х S]) ^ + (v, 6) - (у, 53) (53, 6) (7.37)
Выражение (7.37), вообще говоря, отлично от нуля. Введем по-прежнему массу т (Е) равенством (7.2). Тогда, подставляя (7.37) в уравнение (7.36), мы получим
{(-srfi-т)ъ+-ЯГ*ЫЬ + *-}«>• [6x8])-
- \-'и: <«• е> ’!'= + V/ (Р. »> = <>• (7.38)
Поскольку углы между векторами р, б и 53 произвольны, равенство (7.38) влечет за собой условие обращения в нуль порознь всех трех выражений в фигурных скобках •— коэффициентов при скалярных произведениях (р, S), (р, [в х 53]) и (р, 53). Это дает три линейных уравнения для определения трех искомых функций Tj)lt tj>a и i^3. Решая их, находим
-е(&, v)/о — у([vх53], Vi) = 4‘
(7.36)
([axb], [cxd]) = (a, с) (b, d)-(a, d)(b, c). Получим, с учетом (б.бв),
Cl р/
m(l+co^t2) 1°’
1 o'i.t
ex
(7.39a)
^2 =
№s = -(
(7.396)
(7.39b)
Здесь
(7.40)
СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ
435
При параболическом законе дисперсии, когда функция т (Е) превращается в константу, это есть уже известная нам (§ IV.3), циклотронная частота. Произведение сод определяет дугу, описываемую электроном (дыркой) за время свободного пробега т. Это позволяет наглядно интерпретировать сомножитель т (1 + + ?0сТ2)~\ фигурирующий во всех трех формулах (7.39а — в), Как мы видели в гл. I, во время между столкновениями частица в магнитном поле движется не по прямой, а по циклоиде; в то же время вклад в ток определяется лишь проекцией перемещения частицы на направление плотности тока. Таким образом, магнитное поле действует в известном смысле как «рассеиватель», отклоняя частицы от движения вдоль линий тока. Знаменатель (1 + ю?т2) как раз и учитывает это отклонение, приводя к уменьшению «эффективного времени свободного пробега» т (1 + (о?т2)-1 по сравнению с системой без магнитного поля. При исчезновении магнитного поля (а® 0) решение (б.бв) (7.39а — в), разумеется, пере-
ходит в (6.6а), (7.4).
Подставляя теперь выражение (б.бв) в формулу (2.2) для плотности тока и выполняя интегрирование так же, как и в п. а, получим выражение вида (1.15), но с явно вычисленными коэффициентами при векторах (Б, [б х 531) и 53 (53, б). Эти коэффициенты и следует отождествить с феноменологически введенными там величинами av а2, а3.
Ограничимся случаем параболического закона дисперсии. При подстановке (б.бв) с учетом (7.39а — в) в формулу (2.2) появятся интегралы
ОО
Л = - (7.41)
о 0
где k — целые числа.
Получим для коэффициентов аъ си, а3
2е2У~2т % „ 2е2У~2т е ^ 2е2 У2т ег /7
Зл2й3 0,2 Зят~.1т*ъ 3пгЮ Ил? ' ^‘лг/
В случае полного вырождения
% ? %к (0 /у Л1'\
В невырожденном случае интегралы довольно сложным образом зависят от магнитной индукции и от температуры. Явный вид их можно найти, лишь решив механическую часть задачи.
Исключение составляют только случаи слабого и сильного магнитных полей, определяемые, соответственно, неравенствами
(Е) < 1 и аХ- (?)>!. (7.43)
436 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
В первом из них мы получаем
СО
Л~ - 5 ?3/, т* (Е) f' (1 - со-т2) dE, (7.44а)
о
а во втором
СО
Л=*—гг $ E‘/*T»-*(E)f'adE. (7.446)
о
Отметим, что при k = 2 время релаксации выпадает из (7.446) и мы получаем ,
Л = (7.446')
Подставляя выражения (7.44а) при k = 1, 2; 3 в правые части (7.42), получим для плотности тока в слабом поле выражение вида (1.15'), причем
