Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
а =
Следовательно, для вычисления интегралов в (7.27) необходимо воспользоваться более точной, нежели (7.17), формулой (П.XV.5). Тогда получается
n-k~T ^ ^ р 3 j d In т (Е) | "] oq,v\
ЗеЪ [2“+ d in Е |?=d* >
В качестве ? здесь следует взять значение уровня Ферми при Т = 0 (отсчитанное от дна зоны проводимости).
Выражение в квадратных скобках в формуле (7.28"') представляет собой число порядка единицы. Так, в условиях (7.21) оно
равно
sU + r.
Сравнивая формулы (7.28') и (7.28’"), видим, что в невырожденных полупроводниках термоэдс значительно больше, нежели в металлах. Действительно, вместо фигурирующего в (7.28') отношения ЦкТ в правой части (7.28"') появляется малый множитель &77? (в металлах он составляет величину порядка 10_3).
Вычислим теперь плотность потока энергии. Ограничимся при этом случаем невырожденного газа носителей заряда, Подставляя (7.24) в правую часть (2.3), мы получаем
, = T2lr Нр)т-^^(Р’ *Т)[Е(р)-еЧ,]ПйР +
+ ^ J v (р) [Е (р) - е<р] т (рб') f'a dp. (7.29)
Интегралы по квазиимпульсам преобразуются здесь так же, как и в п. а. Сравнивая выражения (7.25) и (7.29), видим, что слагаемые
432
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
в (7.29), содержащие е<р, в сумме равны просто jcp. Пользуясь для х формулой (7.21), мы получаем
1 = ]ф + г — -engx\^)k) (kTYrl(7-29')
где
= 4nC ГyijL vy _ ^ + _ (5/>+ r)jvrj.(730)
Слагаемое, заключенное в (7.30) в квадратные скобки, есть не что инее, как ea'k. Ееличину ?' можно выразить через j и XT с помощью соотношения (1.7). Обращаясь, далее, к формулам (7.13) и (7.20'), видим, что вклад в I от второго и третьего слагаемых в фигурных скобках в (7.30) и от последнего слагаемого в (7.29) можно записать в виде
-^-(5/2 + r)j = —^.[(V8 + r)-^r]j—f-j = -|j + r«j.(7.31)
Отсюда явствует, что первое слагаемое в фигурных скобках в (7.30) связано с плотностью потока энергии при j = 0, т. е. с теплопроводностью электронного газа. Сспсставив формулы- (7.31),
(7.13) и (7.20'), найдем коэффициент теплопроводности газа носителей заряда:
Х = = ^(г + 5/2). (7.32)
3т f п е2
Комбинируя теперь выражения (7.29') и (7.30) — (7.32), получаем окончательную формулу для плотности потока энергии электронов:
I = —Ij-xVT + Taj. (7.33)
Сравнивая ее с (1.8) (при выбранном начале отсчета энергии t = F), получаем соотношение (1.1.18):
П =аТ.
Заметим, однако, что справедливость последнего равенства не связана непременно с теми упрощающими предположениями, которые мы сделали при выводе формулы (7.33). Фактически оно вытекает из очень общих соотношений термодинамики неравновесных процессов *).
Раскроем теперь условие (5.3) применительно к рассматриваемой задаче. Ограничимся при этом случаем невырожденного полупроводника. Пользуясь формулами (7.2) и (7.23), приходим к
*) Общий вывод термоэлектрических соотношений (1.1.18) и (1.1.19) можно найти в книге [М13].
СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ
433
следующему неравенству:
(7.34)
Произведение
VfX = I
(7.35)
называют длиной свободного пробега (по импульсу). Видим, что для выполнения неравенства (7.34) необходимо (но, Еосбще говоря, еще недостаточно), чтобы изменение температуры на длине свободного пробега было мало по сравнению с самой температурсй. Последнее условие, впрочем, имеет гораздо более общий характер: при нарушении его вообще нельзя ввести представление о температуре, изменяющейся в пространстве. Действительно, понятие температуры вводится в термодинамике равновесных процессов, причем одно из условий равновесия как раз н состоит в псстоянстЕе температуры во всей рассматриваемой системе. Обобщить определение температуры на неравновесный случай можно с помощью так называемой гипотезы локального равновесия. Именно, допустим, что рассматриваемое макроскопическое тело межио разделить на ряд физически бесконечно малых объемов — достаточно малых областей, каждая из которых содержит все же макроскопически много частиц (при этом линейные размеры каждой области должны быть Еелики по сравнению с длиной свободного пробега). Эти области г/ожно' в свою очередь рассматривать как макроскопические системы, описывая их состояние с помощью обычных понятий термодинамики. Естественно думать, что равноЕСске устанавливается прежде всего внутри каждой области (локалы.о); лишь спустя известнее время после этого может- установиться и равнсЕесие между областями. Мы имеем здесь еще один пример разделения процессов на быстрые и медленные (ср. § 3). Установление равкосесия внутри каждой физически бесконечно малой части тела представляет собой быстрый процесс (происходящий за время порядка времени релаксации); установление же, равновесия во всем объеме межет быть связано с гораздо более медленными макроскопическими процессами теплопроводности, диффузии и т. д. Таким образом, оказывгется возможным говорить о локальном равновесии в пределах каждого физически бесконечно малого объема при отсутствии равновесия во всей .системе в целом. При этом состояние каждого малого объема можно характеризовать своей (постоянной в его пределах) температурсй, своей концентрацией частиц и т. д. Тем самым приобретает ясный смысл и представление об изменяющейся в прсстранстЕе температуре. Соображения такого типа постоянно используются в задачах кинетики. В частности,1 они составляют основу обычной теории теплопроводности, диффузии и т. д. Тем не менее справедливость их заранее не очевидна. Действительно, как уже отвечалось, «физически бесконечно малыё объемы» должны быть, с одной стороны,
