Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Н — Н0-\-Н'. .(1.1)
Здесь Н0 есть сумма операторов энергии электрона и фононов (XII.6.2) в идеальной решетке. Слагаемое Н' описывает изменение энергии электрона при наличии того или иного отклонения силового поля от идеального периодического. Мы будем называть Н' гамильтонианом взаимодействия электрона с рассеивателями. Последний термин обозначает любой объект, вызывающий отклонение силового поля решетки от идеально периодического. Во многих случаях энергия взаимодействия носителей заряда с рассеивателями оказывается достаточно малой, так что при, определении энергетического спектра ею можно пренебречь (точный смысл слов «достаточно малой» будет раскрыт в дальнейшем, см. §§ 2, 4, 5). Тогда роль рассеивателей состоит лишь в том, что при «столкновениях» с ними носители заряда могут отдавать или получать квазиимпульс.
Мы приходим, таким образом, к стандартной задаче квантовой механики о вычислении вероятности перехода между двумя состояниями невозмущенной системы под влиянием возмущения Роль невозмущенной системы играют в данном случае не взаимодействующие друг с другом электроны и фононы. Соответственно в оператор #0 входит и энергия колебаний кристаллической решетки (XII.6.2). В частном случае, когда состояние решетки не изменяется, слагаемое (XII.6.2) есть просто аддитивная постоянная, выпадающая из всех последующих формул.
448
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. .XIV
§ 2. Вероятность перехода. Условие применимости кинетического уравнения
Обозначим через совокупность квантовых чисел, характеризующих различные состояния невозмущенной системы. Соответствующие волновые функции обозначим через г|э>,, а принадлежащие им собственные значения энергии — через Ек:
H0tyx = E}$K- (2.1)
Так, в случае одного электрона в идеальной решетке % есть совокупность номера зоны I и компонент квазиимпульса р (проекцию спина в случае необходимости будем включать в I). При этом ii\ представляет собой функцию Блоха (111.2.15'). Для электронов в колеблющейся решетке к есть совокупность /, р и чисел фононов во всех возможных состояниях; при этом г|\ представляет собой произведение функции Блоха на волновую функцию решетки (XII.5.5).
Подчиним функции Блоха и нормальные колебания решетки обычным условиям периодичности в кубе объема V = L3. Тогда возможные значения компонент квазиимпульса электрона и квазиволнового вектора фонона даются (III,3.10) и (III.3.10').
Функции будем считать ортонормированными:
$\|>*'тМт = би', (2-2)
где 6>д' символ Кронекера (многомерный), а символ \dr ... означает интегрирование по координатам электрона (по фундаментальному объему) и по вещественным нормальным координатам решетки.
Волновую функцию, вычисленную с учетом энергии взаимодействия Я', обозначим через Чг. Пусть в начальный момент времени (t = 0) система находится в состоянии К:
П-о = (2.3)
В последующие моменты времени волновая функция ? будет изменяться в соответствии с уравнением Шредингера
ih~ = H4. (2.4)
В отсутствие взаимодействия Н' мы получили бы отсюда
? = г|;лехр(- lKExt^j, (2.5)
как и должно быть в стационарном состоянии. При учете взаимодействия это уже не так: функции тр,, не являются собственными функциями полного гамильтониана Я = Я0 + Я' и, следовательно, не описывают стационарных состояний. Положим
440 = 2V(0Vexp [~^E,."t),
(2.6)
ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА
449
где Сх----пока неизвестные коэффициенты разложения. Согласно
общим правилам квантовой механики величины \с-,.- (^^представляют собой вероятности обнаружить систему в момент вгемени t в состоянии X". Сумма их, взятая по всем возможным значениям X", равна единице при всех t:
2'iO/'(0!2 = 1.. (2.7)
у
Уравнения для коэффициентов о.- легко найти, подставляя функцию (2.6) в уравнение (2.4), умножая результат слева на и пользуясь равенствами (2.1) и (2.2). Мы получаем
щ = У сЛ" (0 ехр \jjr(E-l/-Ev) Л ^ (2.8)
Я"
Начальное условие к этой системе уравнений, согласно (2.3), имеет вид
су \t=o = би». (2.9)
Интегралы в правей части (2.8) представляют собой матричные элементы оператора Я' в системе функций Введем для них обозначение
$ dx = (X' j Я' | X"). (2.10)
Таким образом,
щ ЩР- = ^ (X11Я' j Г) с,, (0 ехр [^- (Ev - ?*") *] • (2.8')
у
Как видно из уравнений (2.8'), при t Ф 0 коэффициенты су при Я' Ф X становятся, вообще говоря, отличными от нуля, а величина |сх|2, соответственно, уменьшается в силу (2.7). Бто есть математическое выражение нестационарное™ состояния X в присутствии возмущения Я'.
