Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
- -ь {з? Х°У
- дх ¦ ' ь • • • ' Хп>'
3
3=1
В случае комплексных собственных чисел + i|3fc коор-
динаты собственных векторов (??) также являются комплексными. В общем
случае матрица А\ имеет п различных собственных векторов (жорданова
нормальная форма матрицы А\ диагональ-на), при этом все решения системы
(2.8) имеют вид
*,(*)-*; = Re I* Cj&e4*. (2.9)
1
Поэтому качественный характер поведения траекторий системы
(2.8) определяется собственными числами Хк.
Невырожденная особая точка (#J, . . ., Хп) называется притягивающей, если
для всех собственных чисел Re Xt < 0; в этом случае все траектории в
окрестности особой точки при т-> + оо
24
методы качественного исследования
(гл. I
входят в эту особую точку. Невырожденная особая точка называется
отталкивающей, если все Re > 0; в этом случае все траектории в
окрестности (#J, . . ., Хп) входят в эту особую точку при т -- оо.
При изучении произвольных особых точек системы (2.6) постоянно
используется следующая теорема [42]: Если в некоторой особой точке (#?, .
. ., Хп) система (2.6) имеетdсобственных чисел
. . ., Xd с отрицательными вещественными частями ах ^ . . . • • • < аа <
0 (собственные числа учитываются с их кратностями), то существует
(локально) инвариантное d-мерное многообразие на котором все траектории
системы (2.6) при tоо входят в особую точку (х\, . . ., Хп) х). Для
каждого такого решения
71
lim?"4n[( % (xj (?) -х))А /2| = а* (2.10)
f-oo j=l
при некотором i. Если собственное число Xd с максимальной отрицательной
вещественной частью ad единственно, то почти все траектории на
инвариантном многообразии Wt касаются соответствующего собственного
вектора и имеют при t оо асимптотику (2.10) при i = d. Аналогично, если в
особой точке (#°, . . .
. . ., Хп) система (2.6) имеет к собственных чисел с положительной
вещественной частью, то существует /с-мерное инвариантное многообразие
Wu, на котором все траектории выходят из этой особой точки.
Траектории, входящие при t + оо в некоторую особую точку, называются
сепаратрисами. Предыдущая теорема указывает, в частности, асимптотики
сепаратрис в окрестности особых точек.
Невырожденная особая точка (#J, . . ., xl) называется седло-вой
(неустойчивой), если динамическая система (2.6) имеет в этой особой точке
d собственных чисел с отрицательными вещественными частями и п - d
собственных чисел с положительными вещественными частями. Согласно
указанной выше теореме существуют два инвариантных многообразия Wf и
WZ~d, проходящие через седловую особую точку и заполненные входящими и
выходящими из этой особой точки сепаратрисами. Эти многообразия
называются соответственно устойчивым и неустойчивым много-
х) Многообразие М называется инвариантным многообразием динамической
системы, если каждая траектория, проходящая через некоторую неособую
точку на JI/C, целиком (при всех -оо < t < +°о) лежит в этом
многообразии. Инвариантное многообразие J/t могут пересекать только
траектории, входящие в особые точки динамической системы, лежащие на этом
многообразии.
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
25
образием системы (2.6), проходящим через точку (#J, . . ,,Хп)-Все
остальные траектории, не лежащие на инвариантных многообразиях и Wu~d, не
входят в рассматриваемую седловую особую точку.
В динамических системах, обладающих некоторой симметрией, особые точки
часто заполняют непрерывные множества, являющиеся многообразиями Мп
размерности к. Динамическая система
(2.6) в таких особых точках необходимо имеет к нулевых собственных чисел.
Особое множество М* называется невырожденным, если в почти всех особых
точках этого множества имеется п - к собственных чисел системы (2.6) с
ненулевыми вещественными частями. На невырожденные особые множества
очевидным образом переносятся все указанные выше определения
(притягивающих, отталкивающих и седловых особых множеств).
III. Поведение траекторий динамической системы (2.6) в окрестности
вырожденных особых точек (в которых, например, все собственные числа - 0)
обычно является значительно более сложным, чем поведение траекторий в
окрестности невырожденных особых точек. Например, число сепаратрис и
целых инвариантных многообразий, входящих в вырожденную особую точку под
различными углами, может быть сколь угодно большим.
Для исследования вырожденных особых точек применяется метод разрешения
особенностей с помощью специального преобразования фазового пространства
(своеобразное раздутие фазового пространства в особой точке), при котором
вместо особой точки вклеивается целое инвариантное многообразие х).
Предположим для определенности, что особая точка имеет координаты (0, . .
., 0). Введем в фазовом пространстве X (хъ . . ., хп) п систем координат
(локальных карт) У1? . . ., Vn. В локальной карте Vt определены
координаты
У1 = yS . ^ Xj/Xi)...) ••чУп = Xn/Xf• (2.11)
Траектории, входившие в особую точку (0, . . ., 0), касаясь некоторых
векторов (а1? . . ., 1, . . ., ап), в локальной карте VtBxo-
