Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
виде матрицы п X п (где п - число особых точек и особых множеств) или в
виде графа на плоскости (например, типа (4.1)). Если последовательность
сепаратрисных переходов (4.1) содержит конечное число сепаратрис и
начинается в некоторой отталкивающей особой точке Х± и заканчивается
34
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
в некоторой притягивающей особой точке Хп, то сепаратрисная аппроксимация
(4.1) дает полное (при всех t) качественное описание динамики близких
траекторий динамической системы.
В некоторых динамических системах реализуются бесконечные
последовательности сепаратрисных переходов (4.1), содержащие циклы,
возвраты в окрестность начальной особой точки и т. д. В этих случаях в
динамической системе имеются сложные нелинейные колебательные режимы,
которые аппроксимируются последовательностями сепаратрис Х^.1), причем
существуют физические траектории, совершающие сколь угодно большое число
сепаратрисных переходов. Если особые точки образуют непрерывные особые
множества, то сепаратрисные переходы между ними определяют отображения
одного особого множества на другое (начальная точка сепаратрисы
отображается в конечную точку этой сепаратрисы). Полученные таким образом
отображения особых множеств представляют собой дискретные комбинаторные
модели сложных нелинейных колебательных режимов в изучаемой динамической
системе. Отображения особых множеств в некоторых случаях обладают (при
неограниченном повторении) эргодическими свойствами и поэтому
обусловливают стохастиза-цию (по некоторым параметрам) траекторий
динамической системы, идущих вдоль последовательностей сепаратрис между
этими особыми множествами.
Другой механизм стохастизации траекторий связан с возможностью
неоднозначных сепаратрисных переходов в сепаратрисной диаграмме (4.1).
Такая неоднозначность реализуется, например, если из некоторой особой
точки Хъ выходит целый пучок сепаратрис, которые при неограниченном
продолжении идут в различные особые точки X±, . . ., Хг. Эта
неоднозначность также обусловливает стохастическое поведение траекторий и
связана с неустойчивостью траекторий в зависимости от начальных данных в
окрестности особых точек динамической системы.
Отметим, что в некоторых случаях удается проинтегрировать сепаратрисы
особых точек, идущие внутри многообразия S. Аппроксимация траекторий
динамической системы такими сепарат-рисными переходами позволяет
исследовать поведение траекторий не только в окрестности границы Г, но и
внутри многообразия S.
Таким образом, метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической
системы, основанный на методе максимально невырожденной компактификации
динамической системы, позволяет в принципе детально изучить сложные
нелинейные режимы динамики траекторий, обладающие рядом стохастических
свойств, а также получить картину поведения траекторий динамической
системы в целом. Эффективность изложенных в данной главе методов
качественного исследования многомерных динамических систем показана в
дальнейших главах книги.
Г Л А В А II
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БЁЗ ДВИЖЕНИЯ
ВЕЩЕСТВА
Однородные космологические модели являются одним из важнейших классов
решений уравнений общей теории относительности. Исследование однородных
космологических моделей, начиная с классических работ А. А. Фридмана [45,
46], явилось началом современной релятивистской космологии и оказало в
дальнейшем решающее влияние на ее развитие. Полный класс однородных
решений уравнений общей теории относительности впервые был выделен в
работе [47]. Исследованию характера сингулярности в общих решениях
уравнений Эйнштейна посвящен цикл работ [48-52], вершиной которого
явилось открытие общего колебательного режима поведения метрики вблизи
космологической сингулярности [49, 50]. Большое значение для исследования
сингулярностей в решениях уравнений Эйнштейна имеют общие теоремы,
доказанные в работах [53-56]. Важнейшими физическими вопросами при
изучении однородных космологических моделей являются: выяснение
конкретного характера сингулярности решения при сжатии пространства,
исследование изотро-пизации решений при расширении пространства,
отыскание наиболее общих режимов динамики однородных космологических
моделей при сжатии и при расширении пространства, исследование конкретных
свойств колебательного режима поведения метрики вблизи сингулярности и
др. Изучению этих вопросов посвящено большое число работ [57-76],
подробная библиография которых приведена в [74, 75]. Все указанные работы
используют традиционные теор-физические методы исследования систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводятся уравнения
Эйнштейна для однородных космологических моделей (к числу этих методов
относятся метод аппроксимации траекторий сложной системы уравнений
решениями некоторых более простых систем с последующими сшивками решений,
метод малого параметра, а также численный счет).
В работах [77, 78] при исследовании простейших однородных космологических
