Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
моделей, для которых система уравнений Эйнштейна сводится на плоскость,
впервые были применены классические методы двумерной качественной теории
Пуанкаре - Бен-диксона (в дальнейшем подобные методы применялись в
работах [79-81]). Однако более сложные однородные космологические
36
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
модели описываются динамическими системами в пространствах большей
размерности, которая для наиболее общих моделей равна 12. В совместной
работе С. П. Новикова и автора [12] для исследования шестимерной
динамической системы, описывающей важную однородную космологическую
модель IX типа без движения вещества, были впервые применены методы
качественной теории многомерных динамических систем (результаты этой
работы в подробном виде были опубликованы в [15, 21]). Дальнейшее
исследование однородных космологических моделей [13, 16, 18, 19, 24, 82,
83] показало, что качественная теория многомерных динамических систем
является наиболее адекватным математическим аппаратом для изучения
однородных космологических моделей, позволяющим с помощью строгих методов
получить полную картину их динамики. Данная глава и глава III посвящены
подробному исследованию методами качественной теории многомерных
динамических систем всех однородных космологических моделей с
гидродинамическим тензором энергии-импульса, а также с электромагнитным
полем.
§ 1. Уравнения общей теории относительности
Широко известны классические учебники [84, 85], подробно излагающие
основные понятия и различные специальные вопросы общей теории
относительности. Поэтому в данном и следующем параграфах приводятся
только наиболее общие и необходимые для дальнейшего сведения.
Основными объектами изучения в общей теории относительности являются
различные свойства четырехмерных пространственно-временных многообразий
,//4 и движение материи на этих многообразиях. Геометрические свойства
пространства-времени определяются метрикой
ds2= gudxl dx1 (1.1)
(всюду по повторяющимся индексам производится суммирование), где
симметричная матрица gtj (#i, х2у х3, х4) имеет сигнатуру (4---------). В
каждой точке существует такая система коорди-
нат (называемая локально-лоренцевой системой отсчета), в которой метрика
(1.1) с точностью до членов второго порядка приводится к виду
ds2 - dt2 - dx2 -<dy2 - dz2. (1.2)
Вид материи, заполняющей пространство-время, и ее свойства определяются
тензором энергии-импульса материи ТВ данной книге рассматриваются два
вида тензоров Ttj: гидродинамический тензор энергии-импульса
Тц = (Р + e)UiUj - pgu (1.3)
УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ (ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
37
и тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Т" = [Wilt* + \saPimFlm) ¦ (1.4)
В первом случае е - плотность энергии вещества, р - давление, й1 - вектор
4-скорости вещества, по определению удовлетворяющий условию gijuluj = 1.
Уравнение состояния вещества рассматривается в виде р = ке, 0 /с
< 1. В случае (1.4) кососимметричный тензор Fij является тензором
электромагнитного по-
ля; по определению
дА. дА.
Р"=ьг-Щ' (1-5)
где Аг - вектор-потенциал электромагнитного поля.
Уравнения общей теории относительности (ОТО) - уравнения Эйнштейна -
связывают геометрические свойства пространственно-временного многообразия
со свойствами заполняющей его материи и имеют вид
Rii-±gijR = -^Tij. (1.6)
Тензор Риччи Rij является сверткой тензора Римана R\*j (Rtj = = Rlnj),
который полностью определяет свойства кривизны пространства-времени (см.
[84- 86]). Скалярная кривизна R является полной сверткой тензора Римана:
R = Rujglj = Rijgv. В дальнейшем используется система единиц измерения, в
которой скорость света с = 1 и гравитационная постоянная k = 1/8я.
Уравнения ОТО (1.6) (вместе с граничными условиями) полностью определяют
эволюцию метрики gtj\ эти уравнения определяют также и движение материи,
поскольку из (1.6) в силу тождества Бьянки [84, 86] следуют уравнения
П У = 0 (1.7)
(здесь используется стандартное обозначение для ковариантной производной
[84, 86]). Уравнения (1.7) для гидродинамического тензора энергии-
импульса (1.3) являются уравнениями гидродинамики (в инвариантной
четырехмерной записи). Для тензора энергии-импульса электромагнитного
поля (1.4) уравнения (1.7) являются обобщением на искривленное
пространство второй пары уравнений Максвелла.
Уравнения Эйнштейна (1.6) следуют из принципа наименьшего действия
Гильберта:
6 Ия/171 + лГПГнй = о, (1.8)
где R \f \ g \ ш А.У \ g \ - действия соответственно для гравита-
38
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
ционного поля и метрики, | g | = | det (gtj) |. Отметим, что в
вариационном принципе (1.8) вариации метрики 8gtj предполагаются
финитными по пространственно-временному многообразию М*. В случае
электромагнитного поля действие
ЛЯ1Г=- т5Г*вР".
Для гидродинамического тензора энергии-импульса (1.3) формально можно
принять
Л /1 g | = - (р + е) UiUjgb V\g\~ iP~ e)/UI,
где связь UiUjg%j = 1 используется только после варьирования действия по
