Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
13
3. Фокус (собственные числа К2 комплексно-сопряженные). При Re = а < 0
фокус является притягивающим: все траектории в окрестности этой особой
точки (х0, у0) являются скручивающимися спиралями, которые при t-+ оо
входят в особую точку (х0, у0), совершая вокруг нее бесконечное число
оборотов. Направление вращения траекторий в канонической форме (1.8)
определяется знаком р = Im Соответствующие фазовые портреты показаны на
рис. 1, д (р > 0) и рис. 1, е (|5 < 0). При Re Я* - = а 0 фокус является
отталкивающим и описывается аналогично при обращении направления времени.
Если собственные числа некоторой особой точки (х0, у0) чисто мнимые (Ях =
ф, к2 = - ф, такая особая точка называется центром), то динамическая
система в ее окрестности, так же как и в случае фокуса, имеет
канонический вид (1.8) (ос = 0, р Ф 0). Однако качественное поведение
динамической системы в окрестности центра существенно зависит от
конкретного вида функций ф (и, v), (и, v) (можно утверждать только,
что при некотором
направлении времени все первоначально близкие к (х0, у о) траектории
остаются в малой окрестности этой особой точки и совершают вокруг нее
бесконечное число оборотов).
II. Исследование вырожденных особых точек. Простая классификация особых
точек, у которых одно собственное число - = 0, в то время как %2 Ф 0,
приведена в [34]. Для исследования вырожденных особых точек, с %1 - h2 -
0 применяется (начиная с работы Бендиксона [2]) переход к полярной
системе координат. Пусть вырожденная особая точка находится в начале
координат (0, 0) и разложение правых частей динамической системы (1.1)
начинается с членов степени т 1:
Р Сх, у) "= рт (х, у) + ф (х, у), Q (,X, у) *= Qm (,X, у) + ф (х, у),
(1.9)
где Рт (х, у), Qm (,х, у) - однородные многочлены степени иг, а функции ф
(х, у), а[) (х, у) - ряды, содержащие члены более высокого порядка.
Динамическая система (1.1) после преобразования в полярные координаты г =
(х2 + г/2)1^, ф = arctg (у/х) и замены времени dx/dt = rm_1 принимает вид
г - г [cos ф Рт (cos ф, sin ф) + sin фQm (cos ф, sin ф) + гФх],
(1.10)
ф = сойф@т (cos ф, sin ф) - sin ф Рт (cos ф, sin ф) + гФ2,
где Фх, ф2 - аналитические функции от г, ф. Отметим, что преобразование в
полярные координаты является взаимно-однозначным всюду, кроме точки (0,
0), которой в полярных координатах соответствует целая окружность S1: г =
0, 0 ф 2я. Динамическая система (1.10), очевидно, гладко продолжается на
окружность S1, которая является интегральной траекторией этой систе-
14
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
мы. Если в исходных координатах х, у некоторая траектория системы (1.1)
входила в особую точку (0, 0), касаясь луча, образующего с осью х угол
ф*, то соответствующая ей в полярных координатах траектория системы
(1.10) входит в особую точку г = 0, Ф = ф*, лежащую на вклеенной (вместо
вырожденной особой точки (0, 0)) окружности S1 (рис. 2). Таким образом,
все возможные
Рис. 2. Возможное поведение траекторий динамической системы в окрестности
окружности S1, вклеенной вместо вырожденной особой точки.
направления входа траекторий системы (1.1) в особую точку (0, 0)
определяются корнями уравнения
р (ф*)= c"s Ф*<?7П (cos ф*, sin ф*) - sin ц>*Рт (cos ф*, sin ф*) - 0
(1.11)
и соответствуют особым точкам системы (1.10) при г - 0. Если все особые
точки этой системы, лежащие на окружности S1 (г = 0, 0<^ф<^2я), являются
невырожденными, то, основываясь на классификации, приведенной в п. I,
можно построить фазовый портрет системы (1.10) в окрестности окружности
S1, что даст полное описание поведения траекторий системы (1.1) в
окрестности вырожденной особой точки (0, 0). Если же некоторые особые
точки г - 0, ф - ф* являются вырожденными, то для их исследования можно
снова применить переход к полярным координатам (с центром в данной особой
точке г = 0, ф = ф*), и т. д. Если же на окружности S1 вообще нет особых
точек системы (1.10), т. е. R (ф) ф 0 при всех ф, то окружность S1
является неособой замкнутой траекторией системы (1.10) и поэтому все
траектории в ее
ДВУМЕРНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
15
окрестности (т. е. все траектории системы (1.1) в окрестности вырожденной
особой точки (0, 0)) при некотором направлении времени совершают вокруг
нее бесконечное число оборотов.
Отметим, что описанное выше преобразование динамической системы (1.1) в
полярные координаты эквивалентно преобразованию в две системы координат:
Vx: х, и = у/х; V2: у, v - х/у, (1.12)
в которых особой точке (0, 0) соответствует окружность, покрытая двумя
прямыми:
Ьг: ж=0, -оо < и < +оо и у = 0, - оо < v <С +00-
Это замечание особенно важно при исследовании (подобным методом)
вырожденных особых точек многомерных динамических систем (см. § 2).
III. Исследование динамической системы на бесконечности.
Для построения полного фазового портрета динамической системы (1.1) на
плоскости х, у необходимо знать поведение траекторий этой системы на
бесконечности. Для исследования этого вопроса применяется преобразование
