Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА
139
Рассмотрим теперь расплывание пакета для свободного движения частицы. Среднее квадратичное отклонение (Дх)2 есть среднее от величины
(Дл)2 = х2 — х2,
где х — координата центра пакета. Согласно (34.7) имеем
= x = vt-\-x,a, (34.12)
т. е. центр пакета движется инерциально со скоростью v. Производные величины (А*)2 по времени вычисляются по общей формуле (31.7). Полагая там L —(Да-)2, находим
=«?2 + [ft, W] — ig. + [н, «=],
и так как для свободного движения оператор Н — ~ Р2, то1)
[Н, х*] = ~ [Р\ х*] = ~ (хФ2 - РЧ"-) = хР ~ Рх
2ku L ’ J 2\iih ' (я
d(&x)2
Такнм образом, оператор ------- равен
d(Ax)z хР + Рх dx? хР + Рх
^Г~ IX dt - (X *°х'
Вычислим теперь вторую производную
ацДх)2 д fd(Ax)-\ , Г?. d (Дх)21 сГ-х* , Г- х/5 + Рх I
-dT-^^f[-irj + [H’ -1ГГ~Чр+[Н’ —J—J’
Iй. -ф-,
т. е.
d~ (Дх)2 _ 2рг d2x2 _ 2Р2
d/2 [X2 d/2 [i2
- 2f>2. (34.14)
Ввиду того, что Р2 коммутируете Я, все высшие производные от (Дх)2 равны нулю. Таким образом, разложение (Дл:)2 в ряд Тейлора по степеням t имеет вид
(Дх)2 = (Дх)5+ i^.±f± - 2сц) l + ±(*?L- 2v2'j Г-. (34.15)
Переходя от операторов к средним значениям, получим
+ ( Л'Р^ рх— 2vx) / + i\ (34.16)
(Ax)j — величина, обязательно положительная, поэтому из (34.16) слёдует, что (Д*); с ростом t неограниченно растет (может быть, переходя через минимум), т. е. пакет расплывается. Во многих случаях (в зависимости от вцда if (х, 0))
г) Во всех дальнейших расчетах пользуемся формулой Px**xP — iH.
140
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
[ГЛ, VI
член с t исчезает. Тогда (34.16) получает особенно простой вид:
(5^* =•(?)*+ (55m (34Л7)
где (Ди)2 — среднее квадратичное отклонение скорости:
(Ду)2 = - v2 = хР- v2.
V ' [Л2
Расплывание такого пакета совпадает с растеканием роя частиц в классической механике, если их начальные положения и скорости распределены около сред-
Рис. 20. Движение и расплывание волнового пакета в отсутствие внешних сил.
А'
них значений с квадратичными отклонениями (Ах)г! и (Aj)2. Однако в классической механике можно взять рой, в котором (Ах),-, и (Аи)2 равны нулю. В квантовой механике этого сделать нельзя в силу соотношения неопределенностей. Рис. 20 иллюстрирует сказанное выше о движении и расплывании волнового пакета.
В качестве приложения теории движения пакета, изложенной в этом параграфе, найдем условия, при выполнении которых рассеяние частицы в поле атома можно рассматривать методами классической механики. Пусть радиус сил взаимодействия между атомом и проходящей около него частицей будет а. Ясно, что для того, чтобы можно было говорить о траектории частицы внутри атома, необходимо, чтобы размеры волнового пакета Ах были много меньше а (рис. 21).
На основании (34.Ю) и (34.11) можно сделать вывод, что кинетическая энергия частицы f =
2\х ^ 8[х / д^ч2 ^ 8pia2 этом же условии пакет не успевает плыться за время прохождения частицы через атом,
a a • |li
(так как Ах <; а). При заметно рас-
Рис. 21. Рассеяние частицы в поле атома.
О — центр атома, а — радиус действия сил, АА' — траектория пакета, расплывающегося от ширины Дл: до ширины Д*'.
которое по порядку величины равно t —
V
Действительно, из ширение пакета составляет а • \х
(34.17) следует, что
X
Ар
-е— а; так Р
Р
рас-
Ах' ^ Av • ^АРХ
[X
как при выполнении (34.11)
Ар <^ру то Ах' <^а.
Радиус действия сил по порядку величины равен радиусу атома а ^ %10'8 см. Для a-частицы, с типичной энергией 7, = 1 Мэв~ 1,6 • 10“6 эрг, ^а = ]/2{лсс71 = 4,6 • Ю-1* (масса a-частицы |ла = 6,7 • 10“24 г). С другой стороны,
§ 35] УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА II УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 141
Л/а=1.10"19. Таким образом, для а-частицы уравнение (34.11) выполнено. Следовательно, рассеяние а-частицы можно рассматривать методами классической механики (что и было впервые сделано Резерфордом в его знаменитой теории рассеяния а-частиц). Однако, если а-частнца проходит вблизи ядра, то необходимо учесть действие ядерных сил, для которых сфера действия а ^ 10 13 см, ti/a = 1 • 10~14 и уравнение (34.11) не будет выполнено. Поэтому рассеяние а-частиц ядериыми силами нельзя изучать средствами классической механики.
Для электронов (f-i^ = 9 • 10-28 г), например, при Т — ЮО эв имеем ре *= = 5,4 • 10 19, так что ре сравнимо с к/а, и применять классическую механику к этому случаю невозможно.
§ 35. Переход от временного уравнения Шредингера к классическому уравнению Гамильтона —Якоби
В предыдущем параграфе мы установили связь квантовых уравнений движения с уравнениями Ньютона и тем самым — связь квантовой механики с классической. Эта связь может быть обнаружена еще другим способом: можно показать, что классическое уравнение Гамильтона — Якоби является предельным случаем временного уравнения Шредингера. Чтобы доказать это, напомним сначала уравнения Гамильтона — Якоби. Для простоты ограничимся рассмотрением движения одной частицы массы р в потенциальном поле U (х, у, г, /). Уравнение Гамильтона — Якоби пишется для функции действия S0 (х, уу г, t), которая обладает тем свойством, что
