Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Физический смысл этой производной таков. Допустим, что в момент времени t имеется микросистема, описываемая волновой функцией г|? (х, /). Произведем измерения величины L в этом состоянии. Мы получим результаты отдельных измерений L', L", L'", ... Среднее из большого числа измерений будет Z (t) и вычисляется по форлуле
Z(0 = ^*(x, t)Lty(x, t) dx. (31.1)
Другую серию наблюдений мы проведем в момент времени t' = t + Aty близкий к t. Мы получим новую серию результатов. Выполнение двух серий измерений в момент t и момент t + At следует представлять себе следующим образом. Имеется ансамбль из большого числа N независимых экземпляров микросистем, находящихся в состоянии (ху /). Мы разбиваем N на две большие группы ЛГ и ЛГ. В момент t мы производим измерения в первой группе частиц ЛГ и получаем L (t)y при этом состояние этих микросистем, вообще говоря, изменится, и оно уже больше не описывается функцией (ху t). Затем в момент / + Д/ мы произведем измерения в группе микросистем ЛГ', не тронутых первым измерением. Из этих измерений и получается новое среднее L(t4-At)y которое, вообще говоря, будет другим, так как за время Д/ состояние, описываемое г|) (ху /), изменится и те же результаты L', L", L'", ... будут получаться с иной степенью вероятности. Кроме того, может случиться, что сама величина L явно зависит от вре-
§ 31] ПРОИЗВОДНЫЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕНИ 129
мени, так что и возможные значения L', L", L"', ... будут изменяться с течением времени. Обозначим средний результат измерений в момент t + At через L(t-\-At)y тогда
(31-2)
Вычислим эту производную. Дифференцируя (31.1) по времени, получаем
ж = § ddt^dxJr S ж^йх+ \ y*L^dx- (31.3)
Очевидно, что первый член есть среднее значение и равен нулю,
если L явно не зависит от времени. Два последних члена мы упростим, пользуясь уравнением Шредингера (28.3). Именно, из
(28.3) имеем
= -1 ЯтЬ — —______- Н*i|>*
dt ih У’ д( ihп ^ •
Подставляя эти выражения в (31.3), найдем
эт“=!-дг S <"*’•’*) ^ dx+та S <?й*dx-
Первый интеграл преобразуем, пользуясь самосопряженностью оператора Н. Обозначая = /л|) = «2, на основании свойства
самосопряженности (18.7) получаем
^ (Lty) dx = $ и2Н*и* dx = ^ и*Ни2 dx = $ г|>* (HLty) dx.
Подставляя это в выражение для ~, находим
ft = Ж + ГК I * dx• <31 -4>
Введем обозначение
[Я, L] = lh{Lli-HL). (31.5)
Оператор ^(LH — HL) будем называть квантовой скобкой
Пуассона1). Введенное обозначение позволяет написать (31.4) ь форме _
f-f+iOj. (31.6)
Мы видим, что производная по времени от среднего значения L есть среднее от некоторой величины, изображенной
*) Эта терминология заимствована из классической механики. См. дополнение VI, формулу (4).
П ТЛ К
130
ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. V
оператором
| + [Я> L).
А
Поэтому этот оператор следует принять за оператор производ-
di dt ной по времени ^ от величины L, изображаемой оператором L:
зЫ + [Н, ij. (31.7)
Это определение оператора, изображающего производную по вре-
(1L
мени ведет к тому, что
?<?)=¦!= $ч>*'г* Л. (31.8)
т. е. производная по времени от среднего равна среднему от производной по времени.
Если величина L не зависит от времени явно, то формулы
(31.6) и (31.7) упрощаются:
^ = [/ГГ], (31.9)
§ = [//, L]. (31.10)
В заключение обратим внимание читателя на то, что при вычис-
лении оператора производной по времени от произведения или от суммы операторов с квантовой скобкой Пуассона можно обращаться как с обычной производной (соблюдая, однако, порядок сомножителей). Действительно, нетрудно видеть, что если L — = А + 5, то
ъ = [й, А+В] = [Н, А]+[Н, (31.11)
и если Ь = АВ, то
§ = [я, Ав] = [н, А]ё+А[А, в]^ё+А§-. (31.12)
§ 32. Уравнения движения в квантовой механике.
Теоремы Эренфеста
Найдем теперь законы изменения импульсов и координат с течением времени.
Импульсы и координаты являются величинами, не зависящими явно от времени. Поэтому, согласно (31.10), операторы производ-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ЭРЕНФЕСТА
131
ных этих величин по времени выражаются просто через квантовые скобки Пуассона, т. е. в конечном счете через операторы самих этих величин и гамильтониан Н, характеризующий рассматриваемую механическую систему.
Обозначим операторы декартовых координат х, у, z и соответствующих импульсов рх, ру, р; соответственно через X, Y, Z и Рх, Ру, Pz1). Гамильтониан Н будет функцией этих операторов и, вообще говоря, времени t:
Н = Н (Рх, Ру, Pz, X. Y, Z, t). (32.1)
^ dX dY dZ
Обозначим далее через операторы производных
координат по времени, т. е. операторы проекций скорости на оси dPx dPu dP2
координат, а через -^— — операторы производных про-
екций импульса по времени.
Подставляя в (31.10) вместо L операторы X, Y, Z, Рх, Ри, Р., получим искомые операторные уравнения
~ = [Н, X], ^ = Y], § = [Я, Z], (32.2)
= РЛ Pul d4r = V*' <32-2')
Эги операторные уравнения вполне аналогичны классическим уравнениям Гамильтона и поэтому называются квантовыми уравнениями Гамильтона2).
В классической механике первая группа уравнений (производные от координат) устанавливает связь между скоростью и импульсом, а вторая группа (производные от импульсов) выражает законы изменения импульса во времени. Такое же значение имеют и квантовые уравнения Гамильтона. Для того чтобы в этом убедиться, следует раскрыть явно скобки Пуассона в (32.2) и (32.2'). Ради простоты рассмотрим случай, когда магнитные силы отсутствуют. В этом случае гамильтониан имеет вид (см. (27.2))
