Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тем не менее все же представляет интерес сравнить уравнение Шредингера с уравнениями волновой оптики. Допустим, что мы имеем некоторую однородную среду, в которой распространяются волны со скоростью v. Тогда уравнение для смещения /
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ОПТИКА
145
при распространении таких волн будет
(36.1)
Для волны, имеющей частоту колебаний со, можно положить
/ = ие~ш, (36.2)
тогда из (36.1) получаем
\2и + k2u = О, &2 == ~ (36.3)
(/с = 2п/к — волновое число, А, —длина волны). Уравнение (36.3) строго применимо для однородной среды1). Однако оно описывает явления дифракции и интерференции и в том случае, если считать скорость v функцией координат. Поэтому его можно рассматривать как волновое уравнение и для неоднородной среды. В этом случае к2 будет функцией координат. Условно будем и в этом случае называть k волновым числом, а к = 2n/k — длиной волны.
Введем показатель преломления п(х, у> г):
п(х, у, г) = -?- = %-, (36.4)
где Я0 —длина волны в пустоте. Тогда уравнение (36.3) можно написать в виде
\2u + kyi2u = 0. (36.5)
Пели неоднородности среды таковы, что показатель преломления п мало меняется на протяжении длины волны, то из волнового уравнения (36.Г)) можно получить основное уравнение геометрической оптики (в противном случае мы будем иметь дело с дифракцией волн на этих неоднородностях).
Положим
и = ае?к °0, (36.6)
где а —амплитуда, ?0©-—фаза волны. Если длина волны мала,
то /?и велико. Разложим а и 0 по обратным степеням k0:
ct~a0-\- a,i + а2 + • • •, (36.7)
© — ©о + ~ът ®2 + • • • (36.8)
К о «0
]) Уравнение для распространения волн в неоднородной среде (например,
- тск1 ромагнитных волн в среде с переменной диэлектрической постоянной) выглядит на самом деле сложнее, чем (36.3).
146 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ [ГЛ. VI
Подставляя (36.7) и (36.8) в (36.6), а (36.6) в (36.5) и собирая одинаковые степени k0, получим уравнение (36.5) в виде
- /ф0 (V0O)2 + Кп*а0 + О (k0) = 0, (36.9)
где O(k0) означает члены порядка k0 и ниже. Пренебрегая низшими степенями k0, находим отсюда
(V0O)2 — ti2. (36.10)
Это и есть основное уравнение геометрической оптики, определяющее поверхности постоянной фазы
©о (а*, у у z) = const (36.11)
через показатель преломления п(х, у, г). Лучи будут линиями, ортогональными к этим поверхностям. Функцию 0о(х, у, г) называют эйконалом.
Сопоставим с уравнением (36.9) уравнение Гамильтона — Якоби
(35.2) для функции действия S0. Производя там подстановку S0 = Et — s0, мы можем написать (35.2) в виде
(Vs0)2 = 2fi [?-(/(*, у, г)]. (36.12)
Сравнение этого уравнения с (36.10) показывает, что задаче
о распространении лучей малой длины волны (большое k0) в неоднородной среде с показателем преломления п (х, у, г) может быть сопоставлена задача о движении материальной точки в поле сил с потенциальной энергией U (х, у, г), причем роль показателя преломления играет величина Y2\л (Е — (/), а фазы — величина s0. Траектории частиц суть линии, ортогональные к поверхностям s0(xy у, -г) = const. Поэтому траектории совпадают с лучами света в среде, показатель преломления которой а пропорционален ]/ 2\i (E — U). Таким образом, классическая механика материальной точки аналогична геометрической оптике.
Если уравнение (36.3) рассматривать как уравнение волновой оптики, то можно сказать, что волновая (квантовая) механика аналогична волновой оптике. В самом деле,* уравнение Шредингера
Ut ir = V2^+u y>z) ^
подстановкой
сводится к уравнению
-4'
я)i = ue h
(36.13)
\йи + |l (E-U)u = 0. (36.14)
Пусть теперь в некоторой области частица движется свободно, вне силового поля, так что вся ее энергия сводится к кинети-
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАМИ ОПТПКЛ
147
ческой. В этом случае следует положить U — 0. Волновое число в этой области обозначим через k{):
кй = -^Е. (36.15)
Вводя теперь показатель преломления волн по отношению к этой области пространства
"=Jk=YI^rL’ (36,6>
мы можем переписать уравнение (36.14) в виде, полностью совпадающем с (36.5). Простейшие задачи по расчету преломления и отражения волн приведены в § 96.
При выводе (36.10) из (36.9) мы пренебрегли членами О(к0). Вычислив нх, нетрудно убедиться, что мы пренебрегли членами /го?20о в сравнении с ^(v©o)2- Взяв (для простоты) одно измерение, мы можем написать условие справедливости нашего при-
ближения в виде
2/'5©о_\2ч^ь (36.17)
<?Х2
о , 2л , д@0
Замечая, что k=^- = k0 получаем
дК
дх
что совпадает с ранее полученным условием (35.17) для перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби.
Из (36.16) следует, что показатель преломления /г, а вместе с ним и длина волны Я = 2n/k заметно меняются лишь в той области пространства, где заметно меняется потенциальная энергия U, т. е. внутри сферы действия сил а. Если сфера действия сил а^Х, то на протяжении X как U, так и п будут меняться мало (кроме некоторых исключительных случаев крайне резких изменений потенциальной энергии).
Поэтому для ориентировочных расчетов условие (36.18) можно заменить более простым условием
Я<а. (36.19)
Это условие не следует понимать так, что для любых микрочастиц, имеющих достаточно большую энергию и, следовательно, обладающих малой длиной волны Я, всегда будет применима классическая механика.
