Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
В квантовой механике делается обобщение этого частного результата, именно, принимают, что этот оператор смещения L всегда равен
1 = (28.2)
§ 281
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
119
где Й есть гамильтониан (оператор функции Гамильтона), вид которого для разных случаев рассмотрен в § 27.
В соответствии с этим постулатом уравнение (28.1) для волновой функции может быть теперь записано в виде
ih = Яг|з. (28.3)
Это уравнение носит название уравнения Шредингера. Оно образует одну из основ квантовой механики 2) и обоснование свое находит не столько в теоретических и исторических обстоятельствах, приведших к установлению этого уравнения, сколько в согласии с опытом.
В раскрытом виде уравнение Шредингера (28.3) в отсутствие магнитного поля, в соответствии со значением оператора Н (см.
(27.2) и (26.2')), имеет вид
itl Jt=~ 2|i' ^ +U У' Z' ^ (28-4)
(при наличии магнитного поля следует взять Н из (27.9)).
Наиболее важной особенностью уравнения Шредингера яв-
о д\р ъ
ляется наличие мнимои единицы перед производной В классической физике уравнения первого порядка по времени не имеют периодических решений —они описывают необратимые процессы, например, диффузию, теплопроводность2). Благодаря мнимости
коэффициента при уравнение Шредингера, будучи уравнением
первого порядка по времени, может иметь и периодические решения.
Связанная с уравнением Шредингера постановка вопроса «найти г|) (л*, /), если дана (х9 0)», имеет смысл лишь в том случае, если г)?(^, 0) может быть однозначно сопоставлено с некоторыми определенными физическими условиями.
Такое сопоставление не является, однако, тривиальным, так как волновая функция по самой своей природе является величиной неизмеримой (напомним, что и = агр, где а —любая постоянная, изображают одно и то же состояние).
Измеримыми являются значения механических величин L, М, N частицы (или системы частиц) и вероятности, с которыми обнаруживаются эти значения в ансамбле частиц (или систем).
!) Во многих курсах стремятся «вывести» уравнение Шредингера. На самом деле, это уравнение ниоткуда не выводится, а образует основу новой теории. Поэтому мы предпочитаем постулировать его, ограничившись приведенными выше доводами в пользу такого постулата.
2) Конечно, характер решения дифференциального уравнения зависит еще
и от краевых условий. Проводя указанное противопоставление, мы имеем
в виду случаи, когда ни U (х, у, г), ни краевые условия не зависят от времени.
120
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ БО ВРЕМЕНИ
[ГЛ. IV
Поэтому мы могли бы рассчитывать только на то, что по измерениям вероятностей в ансамбле окажется возможным вычислить волновую функцию с точностью до несущественного постоянного множителя. Эта задача вычисления волновой функции по измеренным вероятностям в общем случае совсем не является простой, так как вероятности определяют только | г|э (х) |2 или вообще квадраты модулей амплитуд | сп 2 разложения гЬ (х) по собственным функциям какого-либо оператора, а фаза \р (х) или сп остается неопределенной *).
Только в исключительных случаях задача становится простой, или даже тривиальной.
Например, в § 29 будет показано, что в состояниях, в которых нет потока частиц, волновая функция действительна. В этих случаях плотность вероятности w (х) = j г|э (х) |2 = г|г (х) и г|) (х) = = ±: У w (х).
Однако вся проблема определения г|) (х, 0) упрощается тем, что в подавляющем большинстве практически интересных случаев мы имеем дело с ансамблями частиц, имеющих определенный полный набор механических переменных L, М, N. Зная их значения из измерений в момент времени t = 0, можно, пользуясь математическим аппаратом квантовой механики, вычислить и начальную волновую функцию.
Действительно, если в момент времени / = 0 измерены значения L, М> N этих величин, то мы можем утверждать, что начальная волновая функция есть общая, собственная функция операторов L, М, jV, принадлежащая собственным значениям2) L, М, N.
На этом пути вся проблема определения волновой функции сводится к выяснению того, какие величины образуют полный набор.
Ниже показано, что эти величины должны обладать следующими свойствами: 1) они одновременно измеримы, 2) число их равно числу степеней свободы системы, 3) они независимы между собой.
Имея в виду дальнейшие обобщения, будем считать, что волновая функция является функцией / переменных (система с / степенями свободы).
Интересующая нас функция есть собственная функция и поэтому принадлежит к полной системе ортогональных функций в пространстве / измерений.
Каждая такая функция характеризуется f параметрами а, р, у, . • • («номера-) функции).
J) См. теорию рассеяния гл. XIII.
2) Например, если начальное состояние характеризуется заданием импульса частицы р (в этом случае L — px, М — ру, N = p2), то я}: (г, 0) = \|? (х) есть плоская волна де Бройля, принадлежащая импульсу р.
§ 29] СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 121
Если такая функция Yi _ („г, г/, г, ...) есть собственная функция операторов L, М, N, ..., то собственные значения L, Му Ny ... будут функциями этих параметров. Мы будем иметь
