Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Зададим теперь следующий вопрос. Пусть выбран некоторый другой волновой вектор звезды *ft", отличный от того, с которого начиналось наше рассмотрение. Какая связь существует, между получаемыми при этом коэффициентами приведения для подгруппы и коэффициентами из (63.2)? Рассмотрим выбранный волновой вектор ft",, аз фа„ • ft", входящий, очевидно, в звезду *ft". Тогда, если ft0 и ft', представляют собой пару волновых векторов, удовлетворяющих (62.6), то
%»-{К + К)=Чо'>-ь" (бз.з)
или
(83.4)
Далее, если элемент |ф^„ входит в группу ®(Л"), то из соотношения
Фг^; • ft" = ft" (с точностью до 2лВИ) (63.6)
166
Глава 7
следует
чу • 4>/г • Ф?'1 • Фа" ’ Ь" — Фа" • Ь" (с точностью до 2яВ н). (63.6) Иначе говоря, элемент
MMivlM-Wvr’-K-} (М-7)
входит в группу © (Последовательно, можно преобразовать (63.1) таким образом, чтобы оно соответствовало новой постановке задачи. Имеем
1
Z (m) (z-1 {фр \tp}Z) (m,) (Y~l (фр | tp) Y) =
( ka"ka"a) /”
= ? dVa + К-a'} ММ' I *>") УГ (m”> ({<}), (63.8)
m"
где
Zs{C},K"IM-KKa}>
У ^ I ^''}'{Фо'^а'} >
а величины jtpf",,} определяются согласно (63.7).
Чтобы доказать независимость коэффициентов приведения для подгруппы от того, для какого из векторов звезды *k" проводится рассмотрение, необходимо показать, что для любой величины а" выполняется соотношение
({К + К) тт' I k"m") = ({Vo + К-о'} тт' I К"т") (63-9) Сравнивая (63.1) и (63.8), видим, что
nkk =nk k ’ (63.10)
й йа *о* о*о
так как порядок пересечения групп © (k")/Z и © (ka)(Z совпадает с порядком пересечения групп ©(?"„)/? и ®(*а„а)/2:. (Эти подгруппы являются попарно-сопряженными.) Вычисляя затем произведение элементов в (63.8), получаем
__1_ ? *,», т ({{О'»*}) х<” ({{О'1"}) -
-1 ({*«¦«+Kv) ™»' I *>") ^ «О). (63.11)
т"
где \
-IK. I <„.} • КI <„}]- {<) [К. I <v} • {*, I <.)]•
Коэффициенты приведения. Метод подгруппы 1 1б7
Однако при сравнении (63.11) и (63.1) следует помнить, что в качестве произвольного элемента в (63.1) выбран элемент {фр|#р}. Вместо него точно так же можно было бы взять элемент {фр"}, поэтому соотношения (63.1) и (63.11) тождественны.
Следовательно, мы установили, что возникают одинаковые коэффициенты приведения для подгрупп независимо от того, какой из лучей входящей в результат звезды был выбран. Для такого рассмотрения очень важно знать, какой вид имеет неприводимое представление />(**) <т) в различных подгруппах ®(k), ..., @(Ла), ..., @(Й*).
Мы закончим этот параграф следующим замечанием. Наше доказательство соотношения (63.8) основано на прямом сравнении уравнений (63.1) и (63.11), определяющих коэффициенты приведения для подгрупп. Мы не делали никаких предположений о равенстве отдельных характеров (например, Х(А) <т) ({ф/J
и х(*)(т>({фа|*а}~! • {Ф/J*;,} • {faНа})’ поскольку, как показано
сразу после соотношения (37.5), отдельные характеры могут быть и не равны друг другу.
§ 64. Сравнение метода полной группы и метода подгруппы
При определении коэффициентов приведения(*km*k'm'\*k"m") методом полной группы следует предварительно построить таблицы характеров полной группы. Таким образом, мы будем располагать характерами (т) ({фр|(о}) каждого элемента пространственной группы @ для любого неприводимого представления. Тогда разложение прямого произведения двух неприводимых представлений полной пространственной группы на неприводимые составляющие можно выполнить так же, как для любой конечной группы. Коэффициенты приведения для полной группы можно получить прямо из соотношений (55.4) или
(55.5). В первом случае неизвестными являются коэффициенты
(55.2) . Во втором случае для суммирования по всем элементам группы используется «группа приведения». Метод группы приведения представляет собой некоторый строгий прием, использующий матричные группы Z)(**')<m) и ?)(**”) (m">, гомо-
морфные группе Этим методом проводится суммирование по всем элементам группы @. Вычисление^приведения по формулам
(55.4) и (55.5) не может дать неоднозначный результат, так как все суммы, так же как и остальные величины (характеры, элементы групп) в этих суммах, определены однозначно по отношению к полной группе ©. - ,
В методе полной группы все состояния физической системы классифицируются по неприводимым представлениям полной пространственной группы, которые они осуществляют, т. е. все
166
Глаза 7
возможные состояния рассматриваются в неприводимом линейном векторном пространстве (т).
Применение коэффициентов приведения для полной группы означает, что мы используем полные неприводимые представления группы В частности, это значит, что при выполнении разложения может возникать и обычно возникает больше чем одна звезда *k".
Выполнение расчета методом полной группы включает построение по формулам (37.3) или (49.3) набора таблиц характеров полной группы. Это предполагает, что выполнено приведение в каждой группе ®(k) канонического вектора k каждой звезды. После того как построены таблицы и выполнено разложение, мы получим все неприводимые представления, содержащиеся в прямом произведении ?)(**) <т> ® ?)(**') ("»'>. В общем случае конечный результат содержит полные представления, относящиеся к нескольким разным звездам.
