Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
| *k"tn") = ({ka + k'a,} mm' | k"m").
§ 65. Коэффициенты приведения. Метод малой группы
В § 40 отмечалось, что запрещенные неприводимые представления ?)(*) м малой группы П(Аг) представляют собой представления, соответствующие набору волновых векторов
(40.7)
k, 2k.....tk. (65.1)
Это обстоятельство было впервые отмечено в связи с вопросом
О коэффициентах приведения для произведения пространственных групп Элиотом и Лаудоном [34]. В настоящем параграфе мы вслед за этими авторами отмечаем важность указанного выше обстоятельства для разложения' прямого произведения неприводимых представлений^ соответствующих волновым векторам из набора (65.1). Элиот и Лаудон предложили использовать метод малой группы также и для анализа прямого произведения представлений с волновыми векторами из разных щ-
Коэффициенты приведения. Метод подгруппы ' 171
боров. Теперь ясно, что эту задачу следует рассматривать более общим методом подгруппы, изложенным в предшествующих параграфах, или методом полной-группы.
Так же как и в § 40, будем считать, что полный набор неприводимых представлений и м группы II(ft) известен.
Пусть нам требуется определить представления, входящие в произведение представлений D(ft) (m) ® D(ft) (m'). Ясно, что это представление будет содержать представления с волновым вектором 2ft. Иначе говоря, векторные пространства
......
и
2<*) (m') = (*).....
при перемножении дают векторное пространство
(m®m) == |^(*) . у' (*)( , . ^ (65.4)
очевидно содержащее функции из пространства Поэтому представление
(65.5)
и соответствующая система характеров
’ ^(*) (m) ® y(k) (т') (65.6)
приводимы.
Найденные представления малой группы II(ft) составляют полный набор неэквивалентных неприводимых представлений этой группы, некоторые из которых соответствуют волновым векторам 2ft, ... . Представления D(b) (,1) группы П (ft), относящиеся к вектору 2ft, легко выделить из полной системы характеров, так как, если выполняется соотношение
<¦*) ({г | RL (ft)}) = exp - i (2ft) • RL (ft), (65.7)
то следует считать, что все представление (tl) соответствует вектору 2ft. Проверяя аналогичным образом другие характеры для данной трансляции, можно выделить представления, относящиеся к другим векторам из набора (65.1). Следовательно, для каждого индекса [х характера %{k) W можно провести сопоставление вида
Hi да 2ft, ..., (хр да tk. (65.8)
Тогда разложение произведения (65.6) можно выполнить следующим образом. Определим коэффициенты приведения для
(65.6) соотношением ' ¦
^ (*)(»») ® ?(*) (и»') = J] (mm' ] И-) Х(Л) (65.9)
|1» 2*
(65.2)
(65.3)
172
Глава 7-
где суммирование выполняется по тем индексам jx, которые соответствуют вектору 2k, т. е. именно по запрещенным значениям ц при волновом векторе k. Тогда эти коэффициенты можно записать в виде
(тт' | ц) = j- ? х(А) (т) ({<Р 1* (ср)}) {-т') ({tp 11 (cp)}) X
n n (*)
Xx(‘)0i)({<Plf(q>)})*. (65.10)
Суммирование в (65.10) выполняется по всем элементам группы П(й), а индекс ц соответствует вектору 2k. Порядок группы П(&) обозначен через gn. Поскольку в этом методе принимается, что мы располагаем полной таблицей характеров, вычисления по формуле (65.10) просты.
После того как коэффициенты (тт'\\х) найдены, остается связать их с допустимыми неприводимыми представлениями малой группы H(2k). Постараемся быть точными в этом вопросе. Поскольку представления D(ft) {т] и D{k) относятся к одной и той же группе П(й), можно построить системы характеров у\ь) (т) и y(k) (ц) и непосредственно использовать их для разложения прямого произведения. Поэтому по отношению к группе П(й) коэффициенты (тт'|ц) определены вполне точно. Однако установление связи представления D(k) (м,) и, следовательно, коэффициентов (тт'\\и) с допустимым неприводимым представлением с волновым вектором pk возможно только тогда,
когда представление является неприводимым представлением группы П(р?). В этом случае коэффициенты
(65.10) представляют собой коэффициенты приведения для подгруппы и, очевидно, показывают, сколько раз допустимое неприводимое представление /)<2А) содержится в произведении
(65.5).
Если представление /)(*)№>, рассматриваемое как представление группы П(рй), не является неприводимым или если требуется получить методом подгруппы коэффициенты приведения для произведения представлений, соответствующих векторов из различных наборов, то необходимо использовать более общие методы, изложенные в предыдущих параграфах.
Приведенная выше иллюстрация метода для случая, когда произведение представлений соответствует вектору 2k, относится также к разложению представлений вида [D(ft)(m)]3 и т. п. И снова, за исключением случая, когда представление D(A)M неприводимо, следует применять более общие методы подгруппы, рассмотренные в предыдущих параграфах, -
ГЛАВА 8
Пространственные группы и классическая теория колебаний кристаллической решетки
§ 66. Введение
Эта глава содержит применения теории пространственных групп к классической теории колебаний кристаллической решетки [4—6, 59—64]. Основной эффект от использования полной пространственной группы симметрии состоит в упрощении решения секулярного уравнения для определения частот нормальных колебаний и соответствующих собственных векторов в гармоническом приближении. Секулярное уравнение оказывается факторизованным согласно неприводимым представлениям рассматриваемой пространственной группы ®. Факторизация по пространственной симметрии приводит к появлению пространственных координат, зависящих от волнового вектора к неприводимого представления. Учет полной симметрии обеспечивает дальнейшее уточнение свойств отдельных собственных векторов, преобразующих согласно допустимым представлениям D(k) (m) группы (В(к), т. е. по определенной строке неприводимого представления ?)(**)(т) группы ©.
