Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для решения (57.5) следует теперь выбрать столько различных элементов пространственной группы, по одному из каждого класса группы сколько имеется неизвестных коэффи-
148
Глава 6
циентов приведения в соответствии с (57.4). Элементы пространственной группы могут включать в себя как представителей смежных классов {<рр|тр}, так и элементы общего вида {<Рр | тр +/?l} , входящие в пространственную группу. Легко видеть, что если для ограничения числа возможных коэффициентов приведения для заданного допустимого значения k" используется соотношение (57.3), то задача решения линейных алгебраических уравнений (57.5) существенно упрощается. Наконец, чтобы исключить возможность появления решений уравнений
(57.5), не имеющих смысла, следует использовать тот факт, что коэффициенты приведения равны положительным числам, включая нуль.
Этот метод нахождения коэффициентов приведения, основанный на исходном определении коэффициентов приведения (55.1) или (55.3), обладает полной общностью, и его можно применять для любой пространственной группы, как симморфной, так и несимморфной. Этот метод можно назвать методом линейных алгебраических уравнений, и его можно с таким же успехом использовать в случае, когда одна из звезд или все звезды в разложении имеют высокую симметрию (т. е. когда группа @{k) высокого порядка) либо когда они имеют низкую симметрию. Согласно общей теореме единственности разложения представления на неприводимые составляющие, решение уравнений
(57.5) и (57.3) является единственным и точным. Для проверки результата численного расчета можно использовать уравнение
(57.5), подставляя в него элементы пространственной группы, отличные от элементов, использованных в исходном разложении.
Мы применим этот метод в § 129, 130 для получения коэффициентов приведения для пространственной группы кристалла с симметрией каменной соли. Чтобы продемонстрировать практическое удобство этого метода, будет рассмотрен конкретный пример.
§ 58. Определение коэффициентов приведения.
Метод группы приведения
Метод линейных алгебраических уравнений, изложенный в предыдущем параграфе, является, можно сказать, прямым методом определения коэффициентов приведения. Обратный метод основан на суммировании по всей группе, подобном суммированию в (17.8), которое теперь выполняется по всей пространственной группе, как в (55.5). Суммирование по всей группе можно выполнить только в том случае, когда рассматриваются некоторые представления достаточно простой структуры, так что можно использовать эту структуру для перехода к рассмотрению некоторых факторгрупп.
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
149
В частности, для звезд высокой симметрии матричная группа
?>(**) (т)
является гомоморфным отображением абстрактной группы/®, таким, что ядро гомоморфизма *) $ представляет собой группу высокого порядка (т. е. порядка N), а индекс подгруппы $ в группе 'm) является малым числом (т. е. порядка gp). Подобное обсуждение должно разъяснить это утверждение.
Рассмотрим совокупность всех матриц ?>(**)<«), входящих в ядро гомоморфизма:
д(**)(т) {?)(**) (т)(у)}, где <т< (У) = D(*fe><т> ({е ] 0}). (58.1)
Набор элементов {У}, очевидно, образует нормальную подгруппу группы ©. Поэтому можно построить факторгруппу группы © по этой подгруппе. Рассмотрим подгруппу
%)^{У}, (58.2)
образуемую совокупностью абстрактных элементов группы @, таких, что каждому элементу У в данном неприводимом представлении (в матричной группе) <m) соответствует матрица
D(*k) (m) (У) ^ D(*k) (m) ({81 0})_ (58.3)
Обычно оказывается, что элементы группы Щу) представляют собой чистые трансляции, хотя Щу) — Z только в том случае, когда звезда *А = Г. Поэтому можно рассматривать разложение группы трансляций 2 по подгруппе 9V), которое дает набор представителей смежных классов в виде
ЗДп = {8|0), {8\t2}, {8|frt/}. (58.4)
Отметим, что рассуждение полностью соответствует более простому рассуждению, приведенному в § 39 при изложении метода малой группы. В том случае в (39.9) рассматривалась группа П(Л), равная факторгруппе ®(k)/X(k), где группа Z(k) определялась как набор таких абстрактных элементов группы ?, что в данном представлении матрицы элементов группы Z(k) были равны матрице, соответствующей тождественному элементу {еj 0}. Поэтому матрицы, соответствующие элементам группы ? (k), входят в центр матричной группы, образующей допустимое неприводимое представление группы ®(k), т. е. входят в центр группы ?)(fe,(m). В рассматриваемом здесь случае именно
') При всяком гомоморфном отображении группы G на группу Н единица группы, G переходит в единицу группы Н. Совокупность всех элементов группы G, переходящих в единицу группы Н, называется ядром данного гомоморфизма (см. [117], стр. 253).— Прим. ред.
150
Глава 6
полная группа © определяет через неприводимые представления /)(**)<»> подгруппу 9V) и, таким образом, ряд в (58.4).
Исходя из этого, образуем факторгруппу
®/9V). (58.5)
Она разбивается на ряд смежных классов. Каждый независимый смежный класс группы из (58.5) представляется матрицей группы D (**)<">). Набор этих матриц замкнут, т. е. он образует матричную группу. Рассмотрим теперь 'представителей смежных классов
