Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим далее группы ®(ft') и ®(ft"), соответствующие волновым векторам ft' и ft" соответственно из звезд *ft' и *ft". Запишем
© <*') = ?+...+ | г + ... + {Ък, | V} г. (62.2)
Разобьем группу © на смежные классы по подгруппе © (ft'):
© = ©(ft') + ... + {ф0,|т0,}©(*')+ ... +{%,\Ts,}®(k'). (62.3)
Аналогичным образом
©(*'0 = 2+ ... +^/v,|VF + :- +{^|т/г}г <62-4>
и
© = © (*") + . • • + {фа, I V} © (ft") + ... + {ф,„ IV} © (к"). (62.5)
Обратим внимание на принятые в (62.2) — (62.5) обозначения, а также сравним эти соотношения с (36.1) и (36.2). Пусть k0 и ft' —любые два волновых вектора, принадлежащие соответственно звездам *ft и *ft', причем
ka + ft' = ft" (с точностью до 2лВя). (62.6)
(Вообще говоря, векторы kg и ft', не являются каноническими волновыми векторами своих звезд в случае, когда вектор ft" является таким вектором.) Рассмотрим далее всю совокупность независимых векторов ка и ft0> сумма которых приводит к заданному ft". Эти векторы можно получить, действуя на данный вектор ka из (62.1) всеми поворотами из группы @(ft"). Тогда
Коэффициенты приведения. Метод подгруппы
163
получим совокупность векторов
.....*"• (62-7)
Однако для каждого элемента {(р^ | общего для групп О (ft") и © (ftCT), имеем
• kg — fta (с точностью до 2яВя), (62.8)
так что выделенного вектора ка не получается.
Очевидно, поскольку Я", согласно (62.7), принимает значения 1, ..., к", мы получим lk"ltik"ka различных векторов. Из
(62.8) следует, что каждому такому волновому вектору звезды
*ft должен соответствовать волновой вектор звезды *ft'; тогда имеем
~ к'а' (с точностью Д° 2яВя), (62.9)
причем элемент {ф^,, входит также в группу © (ft',).
Число nk"ka равно порядку группы, образованной пересечением факторгрупп ®(к")/Х и ® (fta)/?. Иначе говоря,' оно равно числу поворотных элементов, общих для обеих факторгрупп.
Рассмотрим снова выражение (53.8) для характера представления прямого произведения, вычисленного для элемента {фр I tp) группы
(me„О «фр , ,р}) = х(**) <т) ({фр | tp)) . х(**') («г({фр | ,р}).
(62.10)
Входящая в (62.10) трансляция tp может быть трансляцией общего вида, состоящей из трансляции на вектор решетки и нетривиальной трансляции. Соотношение (62.10) можно переписать через характеры с точкой:
V
(WP\tp})%(*k,)w (Wp\tp})= ¦
= Z Z %{к) (m) ({фа I to) _! • {фр I tp} • {фа I fa}) X
<r=l o' = I
X *“'> (m,) {{%¦ I • {фр I tp) . {ф,;, | ta,}). (62.11)
Рассмотрим теперь только те произведения в (62.11), для которых сумма волновых векторов удовлетворяет соотношению (62. 6). Эту совокупность произведений можно записать, например, в виде
Е Е(т)(ЬШ{к,){т']((<))6(*"-К-К)* (62-Ф
164
Глава 7
где
KIU- <62ЛЗ)
Аналогичное соотношение можно выписать и для а'. В (62.12)
4k"-K-K') =
{1 для ka + k'g, = k" (с точностью до 2я5я),
О в остальных случаях.
Запишем (62.12) в более удобной для нас форме
(id-) ? (№"1) Xй({»П> (62- >5)
^ о ' А"«1
где (tik„k ) — определенный ранее множитель, учитывающий наличие лишних членов, а величина
№1 - (К-1 '-г} • (¦». I '.)"•{»» IУ • К-1V} {*« I'.}) <62-16>
представляет собой, как видно из (62.16), сопряженный элемент. Сумма в (62.15) вычисляется по всем поворотным элементам группы ©(&")/?.
Сумма в (62.15) относится к системе характеров, которая является «полной» по отношению к подгруппе. В выражении (62.15). содержатся все вклады в характер всех представлений т" с заданным волновым вектором k", которые возникают при вычислении прямого произведения соответствующих частей представлений и /)(**') (т).
§ 63. Коэффициенты приведения для подгруппы
Так как выражение (62.15) дает полную систему характеров для прямой суммы допустимых неприводимых представлений группы ®(k"), то, согласно теореме Машке, эта система характеров приводима. Чтобы подчеркнуть отличие этого случая от рассматривавшихся ранее случаев разложения прямого произведения полных представлений, мы введем специальное обозначение ({?0 + k'a,} пип' | k"mдля коэффициентов приведения для подгрупп. Их определение следует из (62.15):
а V-1
" ?.({*„ + *;.} пт' | Гт”) <-•> ({% | (,}). (68.1,
т"
Коэффициенты приведения. Метод подгруппы
166
Обозначение ({ft0 + ft',} mm' \ к"т"^ должно отражать то обстоятельство, что для получения заданного вектора ft" мы составляем комбинации всех векторов ka и fta'. Как и в методе полной группы, можно непосредственно решить уравнение (63.1), рассматривая соответствующую систему линейных неоднородных уравнений (по одному уравнению для каждого элемента) и находя ее решение. С другой стороны, мы можем использовать условия ортонормированности и полноты системы характеров для группы @(ft") или ®(ft")/?(ft"). Тогда получим
({К + К}тт'\к"т") =
-Twr^rlf. *” “ «»П) ОГ1) х
Х^")(-")({ч,р|#р}Г. (63.2)
В соотношении (63.2) суммирование по р можно выполнить по всем элементам труппы @; тогда характеры с точкой обеспечивают выполнение всех необходимых ограничений; g(k") — порядок группы @(ft") или груйпы @(ft")/? (ft") в зависимости от того, включены ли в суммирование трансляции.
Отметим необычный вид аргументов (элементов симметрии), входящих в характеры в (63.2). Важно отметить, что соотношение (63.2) выводится из соотношения для матриц, каждая из которых соответствует одному и тому же абстрактному элементу симметрии {<рр|*р}. Эти матрицы относятся к полной группе, а их характеры удовлетворяют соотношениям типа (37.3).
