Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
D<*> | © {к'). (51.5)
Рассматриваемое как представление группы © (k'), D(A)(m) должно быть в общем случае разложимо на неприводимые представления:
?>(*) <т) | = ? (йот | т') Д(*') (п.'). • (51.6)
т!
В (51.6) коэффициенты приведения (km\m') являются положительными числами.
Исследование совместности связано с изучением соотношений между допустимыми представлениями D(k] (m) в соседних точках, таких, как k и k'. Совместные представления связаны
соотношением (51.6), если ®(k') является подгруппой группы
®(k) и если коэффициент для совместной пары отличен от нуля.
Мы вернемся к рассмотрению вопроса о совместности в т. 2, гл. 3, где мы проанализируем конкретные случаи.
ГЛАВА 6
Коэффициенты приведения для пространственных групп. Метод полной группы -
§ 52. Введение
В гл. б рассматривается математическая задача нахождения коэффициентов приведения для пространственных групп так называемым методом полной группы [42, 44]. В следующей, гл. 7 излагается метод подгруппы [34, .45—47].
В гл. б и 7 анализируется математическая задача определения представлений, содержащихся в приводимом представлении и имеющих вид прямого произведения двух неприводимых представлений. Следовательно, математическая задача в точности совпадает с задачей, рассмотренной в общем виде для конечных групп в § 17. Название «метод полной группы» просто отражает то обстоятельство, что на всех стадиях рассматриваются неприводимые представления D^*k)полной группы © и, соответственно, все вычисления выполнены с использованием в принципе всех элементов симметрии группы
До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В § 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений !)(**)(т) пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение.
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
135
§ 53. Прямое произведение представлений (т) ® />(**') («о
Согласно рассмотрению в § 29 и 32, пространство <т), являющееся базисом для представления ?)(**) (^) имеет размерность (s • /т). Оно образовано блоховскими векторами:
{г|5(‘)(т>, ..., г|з^)(m)} <m>. (53.1)
Пространство 2(**)<т> задает представление ?)(**) (т);
Р{Ф |, <m> *= <m> ({q> 11 (q>)}) S(**) <«>. (53.2)
Пространство ?(**') (m')f являющееся базисом для ?)(**') (m,)j имеет размерность (s' • lm'). Оно образовано блоховскими векторами Аналогичным образом пространство
{ <м'>, ..., <т,)} = (53.3)
задает представление (m';:
Р{Ф |, (9))I(*a,) <от'> = ?)(**') <m'> (fa | * (ср)}) S(**') <т'>. (53.4)
Набор из (s • tm) (s' • lm') функций, каждая из которых является произведением одной из функций г|з|1*)<т) на одну из функций г|3(*')(т')> имеет вид
| (т')> _ # ( ^(Й) (т)^*') (т')^ ) -ф(*я) (ms)1j,(*s) (ms j. =
== 2(** ® **') <т ® т'> (53.5)
и представляет собой пространство прямого произведения. Оно задает представление прямого произведения
Р{4 j t ® **')<m ® m>) =
= ?>(** ® **') (m ® т') ({ф | * (ф)}) ?(** ® **') <« ® «'> . (53.6)
Как и в (17.3), систему характеров представления прямого произведения
D(*k ® V) «п ® т')
легко получить в виде обычного арифметического произведения характеров сомножителей:
у(*к ® **') (т ® т') __ ^(*а) (т) . («О (53,7)
или подставляя в (53.7) в качестве аргумента конкретный элемент пространственной группы:
х<**®V) (m® m(aq) | f (ф)}) = Х(*А) (т) | * (ф)} х(**') <т'> ({ф 11 (ф)}).
(53.‘8)
136
Глава 6
Подставляя в (53.8) выражение (37.3) или (49.3), можно записать равенство (53.8) через различные произведения характеров с точкой, относящихся к группам ©(ft) и @(ft'). Получающиеся при этом формулы имели бы вид значительно более сложный, чем (53.8), так как включали бы двойную сумму по представителям смежных классов и результирующую сумму произведений характеров с точкой. Однако для поставленной здесь цели это не требуется; мы только отметим, что (53.8) содержит произведение отдельных характеров, для которых имеются выражения (37.3) и (49.3). Вывод этих выражений целиком содержит полную теорию представлений пространственных групп, включая теорию индуцированных представлений. Эти характеры с точкой будут использованы в § 62.
Из матриц представления прямого произведения /)(**) (т) 0/)(**') (т') особенно простую диагональную форму имеют те, которые соответствуют элементам группы Это следует из соотношения (33.10), если его применить к отдельным матрицам, представляющим элементы пруппы ? в каждом из сомножителей. Таким образом, эта матрица имеет вид
