Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Преимущество использования малой группы П(Л) состоит в том, что для получения не требуется дополнительного
калибровочногЬ преобразования и, кроме того, запрещенные представления D(k)(m) также могут оказаться полезными, Недостатком является то, что группа П(?) представляет собой большую группу, систему характеров которой обычно приходится строить для каждого случая снова, и это часто требует утомительных вычислений.
116
Глава 5
Достоинство метода проективных представлений при использовании группы $*(й) заключается в том, что все основные проективные представления, которые когда-либо могут потребоваться, можно определить длй всех групп $ раз и навсегда. Действительно, после того как они протабулированы, дополнительные вычисления не требуются. Однако для получения нужной системы факторов /<*> (Л., ц.) из системы факторов, возникающих из группы $*(?), необходимо произвести калибровочное преобразование; в этом недостаток метода.
С теоретической точки зрения метод проективных представлений кажется более предпочтительным как по причине его краткости, так и вследствие его общности. Задача нахождения правильных систем факторов и выполнения соответствующих этим системам калибровочных преобразований представляется невысокой платой за такую степень общности; применение к структуре алмаза см. в т. 2, § 8 и в приложении Г.
§ 45. Полное представление !)(**) <от> для симморфных групп: пример
Симморфная пространственная группа представляет собой расщепляемое расширение группы Z, с помощью группы !р, или, иначе, полупрямое произведение группы Z, на группу
В этом случае набор представителей смежных классов в разложение @ на смежные классы по подгруппе ?: является замкнутым без какого-либо искусственного или произвольного предположения о правиле умножения. Поэтому точечная группа ф, содержащаяся в ©, является настоящей подгруппой. Разложение © на смежные по ? классы по представителям смежных классов {<р|0}, представляющих собой чистые повороты из группы имеет вид
©/? = 3; + {<р210} 2 + ... + {фйр 10} г. (45.1)
а. Звезда общего типа. В случае звезды общего типа в набор (38.1) входят gp различных волновых векторов, и неприводимое векторное пространство состоит из gp линейно-
независимых блоховских функций:
{УЛ), i|)(J4 ..., i|><V} = <"». (45.2)
Когда каждое векторное пространство (блоховская функция) одномерно, одномерное неприводимое представление группы ® (k) просто совпадает с неприводимым представлением групцы т. е. для канонического вектора k имеем
?(*) (т) ({е | jfjJ) — еХр _ ik. Rl,
(46.3)
Неприводимые представления пространственных групп
117
Поэтому разложение ®(k)l% на смежные классы совпадает с разложением ®/?, ’ т. е. равенства (36.1) и (45.1) тождественны. Теперь можно выписать, используя (36.14), точное выражение для полных матриц ?)(**) (т>.
Для элементов группы ? имеем
exp — ik ¦ Rl О
0 exp — ik2 • RL
0
exp -ikgp-RL
(45.4)
Для элементов {<pP|0}, являющихся представителями смежных классов, из (36.14) получаем блочные матрицы
?)(**) («)
({фр I 0})ат = | 0
при %
-1 .
Ф . Ф = г. р х (45.5)
О в остальных случаях
Общий вид полной матрицы совпадает с видом матрицы перестановок:
О ... 1 ... О
?)(*k) (m)__
(45.6)
о
Для произвольного элемента {фр|/??} простое перемножение матриц из (45.4) и (45.6) дает
(m) ({фР I JPiJ) = ?>(*л) (m) ({е I *г}) ?>(*4) (т) ({Фр 10}) =
0 ... exp — ik' Rl ... 0
exp — ik0‘RL ... 0 ... exp — ikx • RL
. (45.7)
118
Глава 5
б. Звезда специального типа. Для симморфной пространственной группы-звезда специального типа имеет такой канонический волновой вектор k, что группа ©(?) сама является нетривиальной симморфной пространственной группой:
®(*) = г + {Ф/2|0}г+ ... +К|о}г. (45.8)
Поскольку точечная группа (k) = © (k) /X (k) является подгруппой группы @(&), проективные, представления представляют собой векторные представления. Следовательно, $*(й) « $(4), т. е. накрывающая группа изоморфна обычной кристаллографической точечной группе.
Это важное утверждение следует из того, что произведение двух представителей смежных классов из (45.8) является снова представителем смежного класса, так что система факторов г(А)(Я, |х)'=1. Поэтому неприводимые представления группы $(&) совпадают с обычными хорошо известными неприводимыми представлениями точечных групп. Так, например, для группы Он или О неприводимые представления могут иметь размерность lm = 1, 2, 3. Разумеется, и в этом случае равенство (36.14) дает решение задачи во всей его полноте.
Рассмотрим теперь случай, когда звезда *k содержит s различных волновых векторов, а порядок группы как и раньше, равен Ik- Представителей смежных классов будем обозначать в соответствии с обозначениями в (36.1) и (36.2). Далее, чтобы избежать громоздких выражений, рассмотрим частный случай, когда
{ф/10} входит в ®{k), (45.9а)
{<р^!Фгф0 j 0} входит в © (k), (45.96)
{ф~1ф/фт| Ф^ входит в ®{k). (45.9в)
При этих условиях неприводимая матрица имеет вид
?)(**) <») ({Ф/10}) =
?)(*) (т) | 0} 0
0 0 ... ?<жт)({ф,г1ф,ф(,|0}) ...
0
