Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
0
(45.10)
¦ ?)(*) <т) ({ф“1ф/ЧРТ 10}) ...
Как и раньше в случае звёзды общего, типа, матрица, представляющая произвольный элемент {фр|#?}> получается умно-
Неприводимые представления пространственных групп 119
жением диагональной матрицы, соответствующей трансляции, на (45.10).
Таким методом можно получить все неприводимые представления симморфной группы для заданной звезды и выбранного канонического волнового вектора этой звезды. Соответственно определяются неприводимые векторные пространства:
2<*)(т) для представления и для представления
?)(**) (т)'
Если представление не одномерно и 1т = 2 или 3,
векторное пространство Б(*)(т) также многомерно. Полезно, быть может, обратиться снова к первоначальному обсуждению в § 32 и 33, чтобы восстановить в памяти вывод этого утверждения.
§ 46. Полное представление
для несимморфных групп
В случае звезды общего типа неприводимые представления ?)(*ft)(m) для несимморфных грулп имеют точно такой же вид
(45.3), (45.4), как и для симморфных групп, за исключением того, что теперь представителями смежных классов являются элементы {(palfcj. причем по крайней мере для некоторых значений а га ф 0.
В случае звезды специального типа проще всего применить метод проективных представлений. Будем считать, что, выполнив калибровочное преобразование, мы получим допустимые представления D<ft) (m) из представлений *D группы !{!*(ft). В таком случае мы определим матрицу ^{k) {т' ({'^ | xi J) для каждого представителя {ф/ | T/J смежных классов группы @(ft) и снова, чтобы получить полную матрицу неприводимого представления /)(**) <т> группы ©, следует использовать основную формулу (36.14). Рассмотрим частный случай, когда
| входит в © (ft), (46.1 а)
{ь, I т2Г1 • {ф/1т} • К! *„} входит в ® <*)• (46.16)
{фт|Тт}_1 ' {ф(1Т} ' {фт|Тт} входит в ©(ft). (46.1в)
Элементы (46.16) и (46.1в) можно переписать в виде {ф/. I Т2}-1 • {<tl I ТЛ • {% I Т0} = {Е I %а} * {«Р^1 • % • Фа I Х21а}’ (46.2) где Rl-o — вектор решетки, и
КI Тт}-1 • R1 xi) • RI Тт} = {ЕI ^Lm} ¦ R-1 • V % I гт}- (49-3)
120
Глава 5
В (46.2) и (46.3) в правую часть входят элементы, являющиеся представителями смежных классов группы ©(ft), помноженными на чистые трансляции. Поэтому для допустимых представлений D(k)(m) имеем
о<я,"Чы ¦>, ы ¦ к к))=
= ехр-« - -<p, ¦ <р„|%,}). (46.4)
Аналогичное выражение получается для матрицы, соответствующей элементу (46.3). Следовательно, структура полной матрицы /)(**) (т) ({фг !тг}) подобна структуре матрицы (45.10), за тем исключением, что все представители смежных классов включают в себя соответствующие нетривиальные трансляции и, что более важно, такие элементы, как (46.16) и (46.1b),'1 могут содержать отличные от нуля трансляции, приводящие к появлению нетривиальных фазовых множителей, как это видно в (46.4). Следует подчеркнуть, что матрицы проективных представлений применимы только к тем представителям смежных классов, которые изоморфны абстрактным элементам группы $. Таким образом, в этих матрицах обязательно возникнут обусловленные входящими в (46.2) и (46.3) трансляциями фазовые множители, которйе необходимо учитывать.
С другой стороны, если для получения используется
метод малой группы, то матрицы определяются не только
для представителей смежных классов |фг^ | т*.}, но также и для элементов вида | хк “Ь Rl W}> образующих группу ®(ft)/?(ft). Это обстоятельство в принципе не приводит к затруднениям. Однако при построении матриц необходимо удостовериться, что включены все необходимые множители; это, в частности, означает проверку всех произведений вида (46.16) и (46.1в).
§ 47. Полный набор представлений /)(**) <т) для пространственной группы
Имея в своем распоряжении результаты предыдущих параграфов, мы можем теперь указать способ, которым можно получить все неприводимые представления D(т) группы ©.
Необходимо построить первую зону Бриллюэна согласно рецепту, содержащемуся в § 23. Первая зона Бриллюэна является геометрическим местом всех волновых векторов ft, определяющих полный набор неэквивалентных неприводимых представлений группы трансляций Ж. Для каждого волнового вектора ft в первой зоне Бриллюэна определим звезду *ft, действуя
Неприводимые представления Пространственных групп 121
на вектор k каждым из gp различных поворотов фц группы Из набора векторов
Фи-* — К> V=h...,gp (47.1)
только s^g-p являются неэквивалентными, т. е. такими, что
К 33 фа . * Ф k + 2пВн. (47.2)
Набор неэквивалентных векторов k образует звезду *k:
'k = {k,k2, ks). (47.3)
Таким способом N волновых векторов зоны оказываются сгруппированными в различные несвязанные звезды. Каждая звезда характеризуется заданием ее канонического вектора k. После того как для данной звезды указан канонический вектор k, он считается фиксированным.
Рассмотрим звезду *k. Для канонического вектора k звезды определяется группа ®(k). Затем методом проективных представлений или методом малой группы находится полный набор допустимых неэквивалентных неприводимых представлений ?){k) (т) группы @. Из каждого отдельного представления методом индуцирования, выражаемым равенством (36.14), получается отдельное неприводимое представление полной
