Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Описание пространственной группы как расширения оказывается полезным при обсуждении теории представлений
44
Глава 2
пространственных групп методом проективных представлений (§ 41—44). Поэтому в § 41—44 мы будем ссылаться на настоящий параграф.
§ 8. Симморфные пространственные группы
Из 230 пространственных групп 73 группы являются и сим-морфными. В этих группах все представители в разложении на смежные классы являются чистыми вращениями {<рст|0}; та = 0 для всех а. Очевидно, в случае симморфных пространственных групп расширение группы ? при помощи группы ф является расщепляемым [20]. Это означает, что ® является полупрямым произведением групп ? и $. Иными словами, для симморфных пространственных групп система факторов задается равенством
(фа, фр) — {810} для всех а, р. (8.1)
В этом случае разбиение группы © на смежные классы по ? оказывается особенно простым:
©/2 = 2 + {ф21 0} г + ... + {фгр 10} 2. (8.2)
Очевидно, что сама совокупность представителей смежных классов
{е I 0>, {<р2|0}, ..., {Ф,р|0}^ (8.3)
является замкнутой относительно умножения и, следовательно, образует группу. Поэтому эта группа, совпадающая с точечной группой $, является группой симметрии некоторой реальной физической точки кристалла. Иначе говоря, $ является группой симметрии $(0) узла, выбранного за начало координат, относительно которого производятся все преобразования поворота. Среди групп, которые будут анализироваться далее, пространственная группа каменной соли является симморфной группой1). Это группа Oh, или Fm3m. В совокупности смежных классов (8.2) группой трансляций ? является в этом случае непримитивная группа F (гранецентрированная кубическая группа), а точечной группой ф — полная кубическая группа Он-Поэтому gp равно 48, т. е. в (8.2) входят 48 смежных классов.
§ 9. Несимморфные пространственные группы
В остальных 157 несимморфных пространственных группах все (или хотя бы некоторые) т„ ф 0. Эти группы являются центральным расширением группы ? при помощи группы ф общего вида.
*) Этот вопрос подробно рассматривается в § 126 и последующих параграфах.
Кристаллические пространственные группы
45
Вторая пространственная группа, которую мы изучим в этой книге1), — это пространственная группа структуры алмаза Он или Fd3m. Это довольно типичный представитель несимморф-ных групп. Группой трансляции снова является группа F (гра-недентрированная кубическая), а точечной группой кристалла— группа Ой. Поэтому Oh есть (нерасщепленное) расширение F при помощи Он. Оказывается, однако, что для этой группы имеется упрощающее обстоятельство, которое может быть полезным при последующем использовании теории представлений. При явном выписывании 48 смежных классов в разложении ® по F можно показать, что
®/f = г + {Ф2| 0} г + ... + {Ф24| 0} г + {г| т} г +... {ф48| т}г. (9.1)
Имеется 24 смежных класса, представители которых не связаны с нетривиальными трансляциями: т0 = 0, а= 1, . . 24
и та — х, а = 25, ..., 48, так что нетривиальная трансляция, входящая в остальные 24 смежных класса, одинакова для всех классов. Фактически имеется подгруппа группы состоящая из
@ = 2+-Ы0}2+ ... + {ф2410} 2; (9.2)
и совпадающая с симморфной пространственной группой T2d>
или F43m. Следовательно, @ з= Т2а есть подгруппа с индексом 2, и потому она является нормальным делителем; факторгруппа ®/@ изоморфна группе четности (С;). Следовательно,
©/© = ©+{?[ т} (9.3)
где
© = 0й, @ = 7d. (9.4)
Поэтому каждый представитель смежного класса в разбиении
(9.1) имеет вид либо
{<pff|0}, о = 1, ...,24, (9.5)
либо
{г|т}-{фа|0}, 0=1,..., 24, (9.6)
где (9.5) относится к первым 24 смежным классам, а (9.6) — к следующим 24 классам. Это упрощает задачу написания системы факторов. Так, поскольку
{фст 10} ’ {фр I 0> = {фар I 0>, (9.7)
система факторов имеет вид
(«Ра. Фр) = {в I °}> (9.8)
’) См. в § 126 и далее.
46
Глава 2
Согласно (9.6),
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.12)
Наконец,
и
{ф<т I 0} • {/1 г} = (ф0, t) • {?фа | г}
(«Ра, <) = {« I Фа • т - Т} = {е| ф„ • Т + * • Г}. {*Фа I Т} • {^фр | Т} = (1фа, *фр) • {ф„ • фр [ 0}, (<Фа, *фр) = {е I <Фа • Т + Т}.
Очевидно, детальное установление всей системы факторов требует их нахождения только для 24 трансляций (фа-т + *-т), так как именно они являются определяющими в (9.10) и (9.12). Кроме того, далее будет показано, что трансляции в (9.12) просто выбираются из малого набора: нулевой трансляции и трансляции на один из базисных векторов (гранецентрирован-ного кубического) кристалла (см. § 126).
§ 10. Некоторые подгруппы пространственной группы
Из структуры пространственной группы с очевидностью следует, что пространственная группа имеет целый набор подгрупп. В последующем изложении в этой книге у нас будет случай использовать некоторые из этих подгрупп.
Все пространственные группы содержат группу трансляций X в качестве нормального делителя. Любая подгруппа Xs группы X будет одновременно и подгруппой группы @. Пусть подгруппа 4,s группы ? является нормальным делителем группы ®. Очевидно, она является и нормальным делителем группы ?, так как X— абелева группа. Тогда одновременно с группой ©/? (т. е. факторгруппой $) можно определить факторгруппу ®/Xs. Однако если
