Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
фс=? Фг/Mi- (6-23)
*7
Требование ортогональности дает
фс = ф-1, (6.24)
где
Ф - ф-1 = ф”1 • ф = е, (6.25)
а е — единичный тензор второго ранга в криволинейных координатах:
е = Yu Oibi. (6.26)
i
Очевидно,
г = ег (6.27)
для всех г. Тензоры второго ранга в криволинейных координатах можно преобразовывать по существу так же, как матрицы в декартовых координатах, которыми мы и будем пользоваться в этой книге.
Эквивалентное , представление такого тензора второго ранга ф получается, если задать ось вращения единичным вектором и, параллельным этой оси, и угол поворота вокруг этой оси:
Ф = ± (ии + (е — uu) cos ф + е X и sin ф). (6.28)
Поскольку запись ф в виде матрицы имеет второстепенное значение с точки зрения целей настоящей книги, мы не будем давать исчерпывающего изложения этого вопроса [12].
Две пространственные группы, для которых будет дан подробный анализ,— это группа алмаза Fd3m, Он и группа каменной соли Fm3m, 0\. В обоих случаях кубическая симметрия позволяет в качестве естественного базиса взять тройку ортогональных векторов; поэтому наиболее простым оказывается представление ф в виде матрицы в декартовых координатах.
д. Порядок пространственной группы @. Из определения операторок пространственной группы в конфигурационном пространстве непосредственно следует, что пространственная
группа @ имеет порядок gpN, где gp порядок точечной группы
Кристаллические пространственные группы
39
5р, а N — порядок трансляционной группы определяемый формулой (4.44). В символическом виде
О (©) = О ($) • О (?) = gpN. (6.29)
е. Инвариантность подгруппы трансляций %. Ясно, что набор операторов пространственной группы, входящих в ?, т. е.
{el Rl)> (6.30)
образует подгруппу полной пространственной группы. Рассмотрим оператор, сопряженный оператору (6.30) и полученный трансформированием произвольным оператором пространственной группы @, т. е.
{ф 11 (ф)}-1 • {е | Rl} • {ф 11 (ф)> = {е | ф"1#!.}. (6.31)
Согласно определению решетки, оператор (6.31), являющийся оператором чистой трансляции, должен быть тоже оператором трансляции решетки
{е| «Г1 •*!} = {« 1*1'}. (6-32)
Поэтому подгруппа ? замкнута относительно сопряжения и яв* ляется инвариантной, или нормальным делителем [1 ].
ж. Факторгруппа. Разложение труппы © по подгруппе ? записывается тогда в виде
© = г + {<Р2|т2}г+ ... +Ы*0}г+ ... +{<рР1*Р}?, (б.зз)
где вектор тст может оказаться и нулем. Для данной пространственной группы @ выбор представителя каждого смежного класса в (6.33) неоднозначен (кроме случая, когда все та=0). Это представляется очевидным, так как, если к элементу {фи|Та} добавить произвольный оператор трансляции решетки, то суммарный оператор будет принадлежать к тому же смежному классу. Возникающая при этом факторгруппа
©/? = 3 (6.34)
изоморфна точечной группе ф, возникающей, если положить равными нулю все векторы трансляции в совокупности представителей смежных классов:
5р = {е|0}, {ф2|0}, {Фр|0}, (6.35)
что совпадает с (5.15).
Разумеется, элементами группы 0? являются смежные классы, т. е. совокупности операторов; элементы группы ф— это отдельные операторы. На яЪыке абстрактной теории групп эти группы изоморфны: S = ф, _
40
Глава 2
з. Симметрия узла. В общем случае в кристалле может не быть ни одной точки, имеющей симметрию несмотря на то что ©/? = $. Узел будет иметь эту симметрию только в случае пространственных групп, у которых все ха = 0, т. е. для сим-морфных групп.
Группа симметрии точки г кристалла определяется как совокупность преобразований, переводящих кристалл в его реплику и оставляющих эту точку неподвижной.
В дальнейшем эта группа будет обозначаться как $у3ла (г) или просто ф(г). Эта группа называется группой симметрии узла. Группы симметрии узлов для всех пространственных групп приведены в международных таблицах [16]; в некоторых случаях приводится их подробная классификация. Отметим другое, часто используемое обозначение пространственной группы
узла где г = = выделенный узел кри-
сталлической решетки. Это обозначение используется в § 148 [см. уравнение (148.2)].
§ 7. Пространственная группа @ как центральное расширение группы ? с помощью группы $ [20]
Группа ®, имеющая нормальный делитель ?, факторгруппа по которому есть ©/? = ф, является расширением группы $ с помощью группы Чтобы полностью определить структуру группы @, необходимо задать: 1) нормальный делитель ?, 2) факторгруппу $, 3) систему автоморфизмов группы $, соответствующих каждому элементу в $, 4) систему факторов. Далее мы покажем, как применять математическую теорию расширения групп1) к пространственным группам.
Элементами группы ? являются {e|/?z.}. Элементами группы $ являются {фа 10}. Каждый элемент группы $ соответствует смежному классу группы ®. В частности, элемент {фст10} группы $ соответствует смежному классу {фа|та}5: группы @, представителем которого является {ф<г|тст}. Тогда
{cPa|to}2-4cfo|0}. (7.1)
Сопоставим каждому элементу {фст|0} из $ отображение группы г на г (автоморфизм) согласно преобразованию
= (7-2)
') Пусть даны группы Л и В. Группа G называется расширением группы А при помощи группы В, если в G можно найти нормальный делитель А', изоморфный Л, факторгруппа по которому изоморфна В (см. [118], стр.72).— Прим. ред.
