Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(2)
F
где г — расстояние от точки А, в которой определяют перемещение w, до точки приложения элементарной силы pdF.
В зависимости от формы соприкасающихся тел меняется форма площадки контакта и распределение давления р, т. е. изменяется и величина перемещений.
1 Обоснование н элементарный вывод формулы (1) Дай в работе 130].
Деформация соприкасающихся тел в случае контакта 383
Из выражений (1) и (2) следует, что по мере удаления точки, в которой определяют перемещение, от начала координат величина w уменьшается и на бесконечности обращается в нуль. В связи с этим можно представить, что система координат х, у, г жестко связана с телом на бесконечности, т. е. что найденные перемещения представляют собой перемещения точек тела относительно весьма удаленной от места приложения сил и, следовательно недеформированной части тела.
ДЕФОРМАЦИЯ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ТЕЛ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ТОЧЕЧНОГО КОНТАКТА
Два ограниченных некоторыми криволинейными поверхностями тела соприкасаются в какой-то точке, которую принимают за начало координат. Оси гх и гг направляют по общей нормали к соприкасающимся поверхностям внутрь каждого нз тел.
Оси х и у расположены в общей касательной плоскости, как показано на рис. 3.
Представим семейство плоскостей, проходящих через осн г. Пересечение плоскостей этого семейства с поверхностью тела носит название нормальных сечений. У каждого из тел будет два нормальных сечения, называемых главными нормальными сечениями, для которых кривизна в точке О имеет минимальное и максимальное значения.
Обозначим ftn н klt — кривизны главных нормальных сечений тела / в точке контакта О;
*21 и *22 — кривизны главных нормальных сечений тела II в той же точке; со — угол между плоскостями кривизны kn и /г22.
Назовем соответствующими точки A t и Л2, рнс. з
лежащие на поверхности тел в окрестности начала координат, для которых xt = хг и yt = у2- Из рассмотрения уравнений поверхностей соприкасающихся тел можно показать, что
[30] расстояние г1 + г2 между соответствующими точками Ах и Аг выражается зависимостью
г, + г2 = Л*2 + Ву\ (3)
в которой параметры А к В имеют значения
А = -j- ? (*ц + *к) + (*2i + *>г) —
__V (*н — *1г)2 + (*21 *гг)2 +
<—' • ' .................— ...
-f 2 (kn — kl2) (*2i — *22) COS 2<и В = |\*ц + *12) + (*21 + *22) +
_|_ 1 (*11 *12)^ + (*21 *22)2 +
’I- 2 kn) (^21 — ^22) cos 2(o
384
Теория контактных деформаций
Для рассматриваемого случая (рис. 3), когда расстояние между двумя соответствующими точками At и Л2 — существенно положительная величина, параметры А и В тоже должны быть положительными. Полагая в формуле (3)
гг + ?2 = С = const,
получим уравнение проекции на общую касательную плоскость геометрического места точек поверхностей соприкасающихся тел, находящихся на расстоянии С одно от другого. Уравнение этого геометрического места принимает вид
Ах2 + By2 = С. (5)
Так как величины Л и В положительны, то уравнение (5) представляет собой (рассматривая С>0 как параметр) систему подобных эллипсов, центры которых лежат в начале координат О.
Уравнение семейства подобных эллипсов можно представить в виде
+_*L=1.
JL S.
А В
С с
если ось х расположить по большей оси семейства, то —тг^> сле-
Л D
довательно, А < В. При вычислениях по формулам (4) нужно ббльшую величину принимать за В, а меньшую за А.
Рассмотрим некоторые случаи касания тел.
Касание шара радиуса Rt с шаром радиуса i?2 ^ ^
*11 = *12 = ~fiT~ I *21 = *22 = -Щ- J тогда из формул (4)
A = B = ~2'{~W + "яг) (6)
и, следовательно, кривые равных расстояний представляют собой окружности.
При соприкосновении шара радиуса Рг с плоскостью величина R2 обращается в бесконечность и k21 = k22 = 0. Если шар радиуса Rt соприкасается со сферической полостью радиуса R?, то величину R2 и кривизны k2l = *22 нужно рассматривать как отрицательные. Расстояние между соответствующими точками будет соответственно равно разности ?, — z2.
Касание цилиндров с радиусами и i!2^ Rlt оси которых взаимно перпендикулярны,
*11 = -^-; *12 = 0; *21 = -^-; *22 = 0; угол =
cos 2(0 = —1 и, следовательно.
в______L_
А~ 2Rt' b ~ 2Яа ’
V)
Деформация соприкасающихся тел в случае контакта 385
т. е. при /?, Ф R2 кривые равных расстояний представляют собой эллипсы, которые при /?, = R2 переходят в окружности.
Касание параллельных цилиндров с радиусами /?, и /!2^ Ry В отличие от предыдущего случая угбл ш = 0, cos 2со = 1 и получаем
'“‘«--Нтгг + тг)’
(8)
т. е. кривые равных расстояний представляют собой семейство прямых, паралМпьных оси х, уравнения которых получают выражение
У
Если цилиндр радиуса R2 соприкасается с цилиндрической полостью (впадиной) радиуса Rt, то величину Rt и соответствующую кривизну ftu нуя&ю рассматривать как отрицательную.
Касание шара радиуса с цилиндром радиуса R 2
ftn ft12 — д - ¦ k2i — -j^—; ft22 — 0;
^ = ~2Ri ’ В==“2_("^Г + 'Ж')'
(10)
Здесь кривые равных расстояний представляют семейство эллипсов. При Rz = оо, т. е. при касании шара с плоскостью, эл ли псы переходят в окружности, а при R, — оо, т. е. при касании ци линдра с плоскостью, — в прямые, параллельные оси х.
