Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
сравнении
с уточненным решением (кривая /), полученным в конечных разностях
с помощью электронной цифровой машины в предположении, чю кромки панели
остаются прямолинейными. Кривые относятся к случаю квадратной панели при
ft = 12. Судя по этим данным, общий характер изменения р* описывается
приближенным решением удовлетворительно, но величина рн по формуле (140)
лежит ниже уючиенного значения.
В более общем решении задачи, для панели произвольной кривизны при a =j=
Ь. прогиб был принят d виде
¦г и -
-It -
any
ь
-I-
(141,
о
,1 \\ к-кп J
I,/ h Г
\\ / /
/
1
! ,
. i i !
0 *
Решение задачи подробно рассмотрено в работе |11. Нижнее крити чсскос
напряжение при к > 20 оказалось равным р., = 0,26к. По-ви-димому, нра
более точном решении теоретическое значение рн должно упасть и
приблизиться к значению 0,18ft, полученному для замкнутой цилиндрической
оболочки. В то же Бремя для пологой панели (при к 5$ 20) величина рн мало
отличается от критического напряжения для плоской панели. Следовательно,
при проведении практических расчетов верхнее критическое напряжение нужно
определять по формулам (133) и (135), а для нижнего критического
напряжения принимать (н случае тщательно изготовленных оболочек). рн =
3.6 при ft -5^ 20; рн - 0,18ft при й~> 20. Для панелей, имеющих
значительную начальную погибь. сравнимую с толщиной оболочки, следует
принимать р*н - 0,12ft при *>• 20.
Цилиндрическая панель при сдвиге. Панель с шарнирно опертыми краями
подвергается действию касательных усилий s, равномерно распределенных но
всему контуру (рис. 23). В линейной задаче используют уравнения (20) н
(18):
162
Устойчивость оболочек
Выражение для прогиба предстаним в виде ряда
в-У У
fmn sin ¦
плу ~ b '
.144)
Подставляя выражение (144) в уравнение (143). определяем функцию
напряжений в срединной поверхности
, У! V.
fmn
( тг _j_ л2 V1
\сг~ ' ~WJ
Рис. 23
X Slfl-
плу
!- sxy.
Составим уравнение Бубнова-Галеркниа
D 4 1 d-Ф с52ш \ 1лх /л*/ , . Л
- v Ц| б + 2s -т-r-- ) sm sin tlx dy - О
ft ft dv- dxety } a b
IK
и подставим в него выражения для к? и Ф; после интегрирования получим ,
ab р т*Ь лЮ ( т2 , л2 \2'|
*' /
здесь учитывают лишь те члены, для которых суммы m -г / и л + / нечетны.
Вводя обозначения
* ob , я
s*"s-rar; '---г. <1")
получаем уравнения типа
Attiafmn р fij '
1 I
И
(/л8 - i2) in* - /-1
5Г"0.
(m2 -f я***)* ft2 4т3Х*
3(1-v2) тлЯ.2 да " (/л2-5-л* А,2)2 л *
128s*
(146)
(147)
здесь ft - параметр криви жы по формуле (132).
Устойчивость оболочек в пределах упругости
163
Решая задачу в первом приближении, примем числа т, п, /, / рав-1 ьпш 1 н
2, Тогда получим следующую систему уравнений типа (146):
¦Лц/п "
¦р /гг - 0; Л22/22
Лц'/isH -fi-P/si - 01 + "i" P/xs-0-
P/n
Условие нетривиального решения этой системы имеет нид "9
А,
1
-9~Р
0
0
-g-Р
Л"
0
0
Это уравнение распадаемся на два:
Л" 4 -g-P -4t2 2 Тр
1 - 9"|J Л22 о 'I 2 -9-р Л*,
первое из этих уравнений соответствует четной сумме, индексов т + п,
второе - нечетной. Отсюда определяют два корня дли р:
Pi =~2~ V ЛцЛвЙ Р2 = ~2~ V^12^21
и значения верхнего касательного напряжения
9л2
256 V - 256
Для квадратной панели (Я = 1) получим Зл4
]/ ^12^21 *
(148)
32(1 -Vs)
1
3(1 -Vs)
64л4
(149)
Во втором приближении учитывают всевозможные комбинации индексов, равных
1. 2, 3. Для случая четных сумм индекс').i : ч^чаем следующее выражение
[1 ]•
1 / Лх i AwAisAai Лщ
128 Г Ц *
(150)
164
Устойчивость ободо-ien
L, - А"Л13 Аа -г~ A,3j -I- Ла1Л8, (4- А" - -i- А") .
Для нечетных сумм т-г п
л3 1 f Л1гЛ.21/423/4зг /1 с 1 \
= 128 г п ¦ ,,Ь|)
?-2 - 025 ^""sF ^2S^32 ~^~~75 ^!2^2S "1*
Верхнее критическое напряжение se, как л ранило, определяется величинами,
относящимися к четным суммам индексов. Исключение составляют удлиненные
панели (ЛТ2гЗ) малой кривизны !/г< 7).
Рассмотрим результаты решения нелинейной задач". Используем уравнения
(34) и (35). Выражение для прогиба принимаем в виде
? . лх . яи t . 2пх 2пи , ...
w=h sm ып 4- Д sm sin -г-. (1о2)
' a Ь * а b
Решаем методом Бубнова-Галеркина, Зависимости s* (с), полученные для
плоской панели (к = 0) и цилиндрических панелей с кривизной к - 12 и k -
24, показаны на рис. 24; во всех случаях принято Я - 1. Нижнее
критическое напряжение sH снижается по сравиению с s0 примерно на 30% для
к = 12 и на 50% для к ~ 24
Для практических расчетов следует пользоваться графиком ка
рис. 25, составленным с учетом экспериментальных данных.
КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Исходные зависимости линейной теории для круговых оболочек
Расположим оси координат так как показано на рис 26, п. Начало координат
совпадаем с вершиной конуса. Положение ючки К срединной поверхности
определяется радиусом-повтором г, проведенным
Устойчивость оболочек с пределах упругости
165
из нершнны конуса О, и yi лом 0 между осевой плоскостью, проходящей через
рассматриваемую точку, и некоторой неподвижной осевой плоскостью
