Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
70
Решение уравнения (3.5.2) в виде соотношения (3.2.2) будет:
q h=2iAni(p)Qj- (3.5.3)
Его опять можно рассматривать как соотношение между преобразованиями Лапласа. Однако, если qn и Qj — функции времени, то Ahj(p) можно считать оператором, воздействующим на функции Qj. Сформулируем некоторые основные правила операционного исчисления
р+а
О
/(0 = е-“*|
eat’f(t’) dt’.
(3.5.4)
Для того чтобы избежать неопределенности, будем считать, что функции f (t) в начальный момент равны нулю (/(0)=0). Однако они мгновенно принимают разрывные значения в момент ^>0, сколь угодно близкий к ^ = 0. Применение правил операционного исчисления
в таких случаях (с учетом скачков, рассматриваемых
как предельный случай непрерывных функций) очень удобно при использовании обобщенных функций. Эти операционные правила можно вывести из интегрального уравнения (3.4.8) [Л. 3-3]. Очевидно, что третье свойство соответствует частному решению дифференциального уравнения
(p+a)z=f(t) (3.5.5)
с начальным условием z(0)=0. Применим правила операционного исчисления к случаю, когда f(t) равна функции Хевисайда
/(0=л(0- (3.5.6)
Выражения (3.5.4) принимают вид:
рт] (t) = S (t); (функция Дирака)
-?-ч(0=*;
р+а
ч(0 = ^г( 1 -*-“*).
(3.5.7)
71
Заметим, что при использовании обобщенных функций операторы р и 1 jp коммутативны. Эти правила операционного исчисления можно также применить к оператору восприимчивости Akj(p), если только допустить, что сила Qj(t)—известная функция времени. Уравнение
(3.4.3) сводится к
qh=Ah](p)Q}(t), (3.5.8)
где Akj(p) в данном случае воздействует на функцию Qi(t). Для объяснения этого оператора вернемся к представлению его с помощью простых дробей (3.2.11). Это разложение имеет вид:
s сЦ)
Aj(/>)=J]vfe- (3-5-9)
Следовательно, используя третье правило операционного исчисления (3.5.4), перепишем уравнение (3.5.8) в виде
S t
qй = SC2e_V f (3-5.10)
o
Заметим, что слагаемые, для которых Xs = 0, представлены оператором 1 /р, который является обычным интегрированием
t
-jQi(t)=^Qi(t,)dt>. (3.5.11)
о
Рассмотрим еще один пример оператора полного теплового сопротивления. При разложении по простым дробям его значение по уравнению (3.3.13) имеет вид:
z« W = S ТТ7, °й + °» + D'UP- <3'5л2)
Обобщенная координата qj(t), являющаяся заданной функцией времени, порождает тепловую силу
Qk = Zhj(p)qj(t). (3.5.13)
Применение правил операционного анализа приводит к выражению для Qk в виде
«¦=?с&"',ТеГ,,'^л'+
о
+ (3.5.14)
72
З.б. ОПЕРАТОРНО-ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Вернемся к уравнениям (1.2.2) и (1.2.4), в которых заменим дифференцирование по времени оператором р. Тогда они примут вид:
сб — divH; grad б -(- Н = 0. (3.6.1)
В этих уравнениях переменные 0 и Н представляют
соответствующие преобразования Лапласа. В этом случае р — алгебраическая величина. Поэтому мы можем решить уравнения (3.6.1), используя преобразования Лапласа для пространственных граничных условий.
Очевидно, можно записать вариационный принцип
(1.2.9) с помощью преобразования Лапласа. Отсюда
51/ + р]'ЯхН8Н dz = — j J 6n5H dA. (3.6.2)
t А
Как и ранее,
8К=1Я c6&6dx. (3.6.3)
v = -
Если ввести квадратичную форму
®=4-Щтн’л <3-6-4>
и положить
5Q = — J j ЫНйА, (3.6.5)
то можно записать вариационный принцип (3.6.2) в виде
SF+p6?J = SQ. (3.6.6)
Это выражение является частным случаем операторно-вариационного принципа, разработанного автором в работах по линейной термодинамике [Л. 3-4, 3-5]. Результаты использования операционных принципов легко обобщить на случай анизотропной теплопроводности.
Операторно-вариационный принцип имеет очень широкий смысл. Он дает весьма компактную формулировку различных типов преобразований, и его можно объяснить тремя способами.
73
1. Операционный метод.
В этом случае используются обобщенные координаты, линейно связанные с полем Н. Аналогично уравнению (2.3.1) можно записать:
Вариационный принцип (3.6.6) приводит к уравнению
При p = d/dt они являются дифференциальными уравнениями тепловой системы.
2. Алгебраический метод.
Как уже указывалось, в связи с интегральным уравнением (3.4.8) преобразование Лапласа, будучи функцией действительных положительных значений р, однозначно определяет соответствующую функцию времени. В области действия преобразования Лапласа можно решить задачу для каждого действительного положительного значения р с помощью вариационного принципа
(3.6.6). Поскольку в данном случае р — действительная положительная величина, решение можно получить в численном виде. Оно может быть наполовину численным, а наполовину алгебраическим. Конечно, пространственные граничные условия должны удовлетворяться 6Q при заданной функции от р. Таким образом, приближенное вариационное решение, определяемое как функция от р, выражается с помощью обратного преобразования в ви-
Н = 2Н№(X, у, г)Яг.
(3.6.7)
-jL-iV + pS^Qt,
(3.6.8)
где
ч
Qt=- Jj епН<«Л4.
(3.6.9)
А
В явном виде уравнения (3.6.8) запишутся
/
2 + Pbii) Я 3 — Qi-
(3.6.10)
74
де функции времени. Это можно практически осуществить, используя аналитические представления для функции от р.
