Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Для простоты рассмотрим систему с изотропной теплопроводностью k(x, у, z). Теплоемкость с(х, у, z) также является функцией координат.
На границе А объема т задается линейный теплопе-ренос, характеризующийся коэффициентом К[х, у, г), который может зависеть от координат.
89
Рассмотрим скалярное поле
Ф = Ф(<7.. <7*. <7,. ¦*. 0. z) (4.4.1)
как функцию v обобщенных координат qv. Наряду с ним рассмотрим векторное поле
f=F(h, х, у, г), (4.4.2)
которое зависит от k обобщенных координат fi. Наложим условие бездивергентности этого поля, т. е.
divF=0. (4.4.3)
Запишем поле теплового смещения в виде
Н = —&gradi|)+'F. (4.4.4)
В этом выражении неизвестное поле Н представлено как функция v + k координат и Температура 0 связана с векторным полем соотношением
с0 = —divH. (4.4.5)
Подставив в это соотношение значение Н из (4.4.4), получим:
cQ = div(k gradi|)). (4.4.6)
Следовательно, температурное поле зависит только от Покажем, что можно выбрать я|з таким образом,
чтобы поля г]) и F в дифференциальных уравнениях для
обобщенных координат стали несвязанными.
Дифференциальные уравнения для qi и fi запишем в виде
(4.4.7)
f><h dqt dfl v ’
Поскольку 0 зависит только от qit координаты fi не входят в тепловой потенциал. Кроме того, в обобщенные тепловые силы Q,- входят только qi. Следовательно, в уравнениях (4.4.7) связь осуществляется только с помощью диссипативной функции, которая вычисляется с помощью выражения (2.2.13), куда входит и диссипация на границе. Ее можно представить в виде суммы трех членов
D=Dg+Dgf + Df. (4.4.8)
Слагаемое Dq зависит от qi и qu тогда как Df зависит от fi и fi. Таким образом, связь осуществляется тол}>-
90
ко через слагаемое
Dqf=”1 ITF grad ф dx ~ 11 ^Рп gradn *dA' (4'4,9)
А
где Рп и grad„^ обозначают нормальные компоненты векторов на границе и проектируются на внешнюю нормаль.
Интегрируя по частям объемный интеграл в выражении (4.4.9) с учетом свойства divF = 0, преобразуем его в поверхностный интеграл
+xgradn^)dA
А
Это выражение стремится к нулю, если на границе удовлетворяется следующее условие:
Kty+k grad„ it> = 0. (4.4.10)
Поэтому поля ij: и F не связаны, если ij: удовлетворяет граничному условию (4.4.10).
Этот результат можно объяснить следующим образом. Температурное поле
fl = 0(<7i. fc. х, у, г) (4.4.11)
принимается неизвестным. Для любого заданного значения 0 мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение в частных производных (4.4.6) при граничном условии (4.4.10). Для каждого поля 0 оно однозначно определяет функцию г|з и векторное поле
0' = —fegradif, (4.4.12)
являющееся тепловым смещением, сопряженным с температурным полем (4.4.11).
Аналоговая модель для сопряженных полей. Полученные результаты позволяют дать более точную формулировку аналоговой модели, рассмотренной в предыдущем параграфе. Рассмотрим температурное поле
0(<7i, q2,...,q^ х, у, z) для заданных значений дч. Оно за-
висит только от х, у, z. Распределим по объему тепловые стоки, характеризующиеся скоростью поглощения, тепла в единице объема
—ш = с0. (4.4.13)
91
Налагаем условие, что тепловой поток поступает из внешней области с нулевой адиабатической температурой 0а = О. Стационарное распределение температуры при наличии стоков обозначим через if. Оно получается из решения уравнения
—w = div {k grad if) (4.4.14)
с граничным условием
Kty + k gradrj if = 0. (4.4.15)
Значение полученной таким образом температуры совпадает со значениями if, найденными из уравнений
(4.4.6) и (4.4.10). Следовательно, температурное поле, сопряженное с 0, будет:
0'=—A grad if. (4.4.16)
Этот вектор представляет плотность теплового потока в аналоговой модели с тепловыми стоками.
Если мы представим температуру в виде суперпозиции полей
6(4-4Л7)
где 0j (х, у, z) — заданные скалярные распределения, то соответствующее тепловое смещение будет:
н=20'^-- (4-4Л8>
Всякое сопряженное поле Q'i получаем из 0, с помощью аналоговой модели. Оно определяется плотностью теплового потока при наличии постоянных стоков тепла —Wi = c8i и заданной нулевой адиабатической температуры на границе. Заметим, что, если на границе отсутствует пограничный слой адиабатическая
температура равна поверхностной температуре твердого тела. В этом случае в аналоговой модели поддерживается постоянная нулевая температура, равная поверхностной температуре твердого тела.
Вывод сопряженного поля с помощью принципа минимальной диссипации. Необходимо рассчитать темпера-туру if аналоговой модели. Плотность теплового потока 0' при наличии стоков тепла получается с помощью принципа минимальной диссипации, сформулированного
92
6 предыдущем параграфе. Другой вывод этого принципа, приведенный ниже, показывает эквивалентность двух аналоговых моделей, описанных в этом и предыдущем параграфах. Рассмотрим диссипацию при плотности теплового потока 0'. Запишем:
D =-г Я jr e'‘*+ т Я'т %'"dA' (4'4'|9)
St А
Поскольку D представляет собой стационарный поток, возникающий при наличии стоков тепла —w, векторное поле 0' должно удовлетворять условию
ay = div0/. (4.4.20)
