Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
4—1050 49
ременных уравнения Лагранжа при отсутствии тепловых сил будут иметь вид:
ж+ж=“' (2-5л9)
Используя в нем значения V и D из (2.5.17), полу-
чаем п несвязанных дифференциальных уравнений:
Aeee -J- ёв = 0. (2.5.20)
Решение этих уравнений будет иметь вид:
Ss = (»e~V. (2.5.21)
Они описывают моды тепловой релаксации, о которых уже говорилось в § 2.4. Подставив значения из (2.5.21) в преобразование (2.5.16), получим:
ft = 2C(a)?[*>e""V* (2.5.22)
что совпадает с выражением (2.4.12).
Это уравнение выражает свойство, о котором также говорилось в § 2.4: общее решение системы дифференциальных уравнений (2.4.1) является суммой действительных показательных функций и включает случай характеристических корней любой кратности. Заметим, что для нулевых корней as = 0 соответствующие экспоненциальные члены вырождаются в постоянные значения
В случае кратных характеристических корней существует неопределенность в выборе коэффициентов cpWj. Для иллюстрации рассмотрим случай трех равных значений характеристических корней:
^1 = л2=Х,з. (2.5.23)
Ограничимся в выражении (2.5.17) членами, содержащими соответствующие нормальные координаты |ь |г, h- Тогда запишем:
+ ^ + + (2-5-24>
Координаты gi, I2, |з можно считать прямоугольными в трехмерном пространстве. Вращение системы координат преобразует |'i, ?'2, в новые переменные так, что
|21 + |22+|23 = |/21+Г22+Г23.
50
(2.5.25)
Следовательно, при этих новых переменных квадратичные формы (2.5.17) не изменяются. Та же неопределенность имеет место всегда, когда имеется квадратный корень любой кратности.
Если преобразования (2.5.16) подставить в квадратичные формы (2.5.15), последние приводятся к выражениям (2.5.17). Поскольку скалярные произведения Ф, и фj должны обращаться в нуль, необходимо, чтобы выполнялись следующие соотношения:
= 0; = 0; (гфз). (2.5.26)
Они идентичны условиям ортогональности (2.5.9), выведенным для случая Ar?=ks- В данном случае уравнения
(2.5.26) выводятся по-другому — как следствие уравнения (2.5.16). Это показывает, что преобразования
(2.5.26) справедливы для кратных корней и, следовательно, не требуют различия между значениями Хг и А*.
Выражение (2.5.17) для D также требует, чтобы коэффициенты ф<8>г в преобразовании (2.5.16) удовлетворяли соотношениям:
1. (2.5.27)
Это выражение тождественно условию нормировки
(2.4.11) для релаксационных мод.
Теперь рассмотрим систему, на которую действуют тепловые силы Q*. Обобщенные координаты подчиняются дифференциальным уравнениям
= (2.5.28)
Эти уравнения можно представить с помощью преобразования (2.5.16) в нормальных координатах gs. Уравнения Лагранжа примут вид:
ж+Ж=Е" (25'29)
где V и D даются уравнениями (2.5.17), a Hs — обобщенная сила, сопряженная с координатой ?s. Значение Hs
находим с помощью уравнения (1.4.7). В соответствии с этим уравнением можно записать тождество
2Q»’8<7i= 2Ss8Ss- (2.5.30)
4*
61
С помощью преобразования (2.5.16) вариации 6</} и 6?s связаны следующим образом:
8^ = 2?;%- (2-5.31)
Подставив эти значения в уравнение (2.5.30), получим:
^ = (2.5.32)
что является определением нормальных сил через первоначальные значения Q;.
Дифференциальные уравнения (2.5.29) для нормальных координат запишутся в явном виде
+ ^ = (2.5.33)
Если Qi — заданные функции времени, значения Hs(/) также являются известными функциями времени, определяемыми из соотношений (2.5.32). Допустим, что на невозмущенную систему в момент времени /;=0 начинается воздействие сил Ss, тогда
gs = Ss = 0 /,<0. (2.5.34)
В этом случае решение уравнения (2.5.33) является полностью определенным и дается хорошо известным выражением
= J<>V'E?(t')dt'. (2.5.35)
о
Если в момент (=0 на систему начинает действовать постоянная сила Ss, выражение (2.5.35) для gs принимает вид:
Es = (l-<rV)-^. (2.5.36)
Лs
Как уже указывалось, какое-то число постоянных релаксации Xs равно нулю. Они соответствуют компонентам поля теплового смещения Н, для которого div Н = 0. Соответствующие нормальные координаты описываются дифференциальными уравнениями
i = Ss. (2.5.37)
Когда в момент ?=0 начинают действовать постоянные силы Ss, решение (2.5.37) принимает вид:
ls = SsU (2.5.38)
52
Эти нормальные координаты представляют решение, соответствующее стационарному течению, достигаемому асимптотически для больших значений времени t, В стационарном течении тепловое смещение Н в соответствии с уравнением (2.5.38) является линейной функцией времени.
2.6. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Рассмотрим систему, на которую воздействуют медленно изменяющиеся тепловые силы. При бесконечно медленном изменении тепловое поле проходит (в пределе) непрерывный ряд стационарных состояний. Это означает, что в любой момент времени температура и тепловой поток адекватны их значениям при постоянных тепловых силах, определенных для данного момента. Мы будем называть решение такого типа квазистационар-ным.
Это понятие включает в себя способ решения нестационарных тепловых задач, когда квазистационарное решение берется в качестве первого приближения и к нему добавляются поправки, связанные с нестационарным поведением. Решения такого типа должны быстро сходиться, особенно в задачах с медленно изменяющимися температурами. Для иллюстрации в конце следующего параграфа будет рассмотрен пример.
