Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через 0* температурное поле, определяемое квазистационарным решением. Будем считать, что оно вычисляется отдельно и является известной функцией времени и координат:
0* = 0*(х, у, г, t). (2.6.1)
Его можно рассчитать любым известным методом, при-
меняемым для решения стационарных тепловых задач, включая, конечно, вариационные методы. Искомое температурное поле системы будет:
0 = 0+ + 0*, (2.6.2)
где 0+ — поправка на нестационарное поведение. Рас-
смотрим случай изотропной теплопроводности. Поскольку 0* — квазистационарное температурное поле, оно удовлетворяет уравнению
div(6 grad 0*) =0.
53
(2.6.3)
С другой стороны, температура 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности (1.2.10а)
div (jfe grad 6) = (2.6.4)
Подставив значение 0 из (2.6.2) в уравнение (2.6.4) с учетом (2.6.3), получим:
div (A: grad 6*) = с ^-+с—. (2.6.5)
Сравнение этого уравнения с уравнением (1.6.19а) показывает, что 0+ описывает температурное поле в модели с распределенными источниками тепла, равными
w = -c%-. (2.6.6)
Кроме того, на границе 0 = 0*, что следует из определения стационарного решения. Следовательно, в модели с источниками граничное условие будет:
9+ = 0. (2.6.7)
Уравнения Лагранжа для этой модели выводятся в § 1.6. Для данного случая они формулируются следующим образом.
Выбираем поле Н* по уравнению
t
divH* —¦ ^ wdt — — с0*. (2.6.8)
о
Поле Н* не определяется однозначно через 0*. Неизвестное поле Н+ представляющее поправку из-за нестационарного поведения, запишется как функция обобщенных координат qi
H+ = H+(<7i, q2, . . qn, x, у, z, t). (2.6.9)
Температурная поправка будет
6+ = — -i-divH*. (2.6.10)
Тогда в соответствии с уравнением (1.6.19) можно за-
писать:
(2.6.11)
°4i dqi
54
где
v+ = -rJJ jc(6+)2^i
1 <ЭН+ k dqit
(2.6.12)
Поскольку 0+ = O на границе, значение Q, в модели с источниками стремится к нулю. Соотношение (2.6.11) является уравнением Лагранжа для обобщенных координат, определяющих поправку 0+.
2.7. ПРИМЕР. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ
Одномерная задача о диффузии тепла в пластине толщиной I, одна сторона которой теплоизолирована, рассматривалась в § 1.7. При рассмотрении использовалось понятие глубины проникновения. Для иллюстрации метода, разработанного в данной главе, рассмотрим нагревание пластины, обе стороны которой теплопроницаемы. Для решения используем совершенно иной метод, основанный на нормальных координатах.
Сначала рассчитаем моды тепловой релаксации. Они соответствуют граничному условию, когда температура на обеих сторонах пластины при *=0 и х=1 равна нулю (0=0) >(рис. 2.1). Представим тепловое смещение Н(х) в виде
п
Н = 9о + Qn C0S ’ (2-7Л)
где п — целое положительное число. Соответствующее температурное поле 0=—(1 lc)dH/dx будет:
ппх
nqnsin—j—- (2.7.2)
cl
Оно удовлетворяет граничному условию 0=0 при * = 0 и х=1. В данном случае достаточно рассчитать тепловой потенциал и диссипативную функцию для объема цилиндра, перпендикулярного пластине с площадью основания, равной единице. Запишем:
l I
1
2k
55
Используя свойство ортогональности тригонометрических функций в уравнениях (2.7.1) и (2.7.2), приведем выражение (2.7.3) к сумме квадратов
п п
1 "г , I 1 I ХЛ
l/ = —ir2J^v’ + T-Jj9*»- (2-7'4)
В отсутствие тепговых сил обобщенные координаты qо, qn описываются уравнениями Лагранжа
dV dD
dD
где
dq п ' dqn ’ dq„
Подставив сюда значения V и D из (2.7.4), получим: ^nqn~\~4n==== О*» ?о==0,
= с1г *
Решениями уравнений ('2.7.6) будут:
-It
:0; = 0. (2.7.5)
(2.7.6)
(2.7.7)
q<s= const, (2.7.8)
где С„ — произвольные постоянные. Эти решения представляют релаксационные моды пластины. Отметим существование моды
с постоянным значением, соответствующим случаю нулевой постоянной релаксации (лг=0).
Эти результаты показывают, что qo и qп пропорциональны нормальным координатам |«, рассмотренным в !§ 2.5. То, что они не удовлетворяют тому же условию нормировки, что и |г, несущественно. Поэтому q0 и цп можно назвать также нормальными координатами.
В качестве иллюстрации общего метода, описанного в § 2.5, можно использовать эти нормальные координаты для расчета нестационарной тепловой диффузии в пластине, когда в момент t=0 поверхность пластины при х=0 мгновенно принимает температуру 0 = 0о- Будем считать, что противоположная поверхность остается при нулевой температуре [Л. 2-6]. К уравнениям Лагранжа (2.7.5) необходимо добавить обобщенные силы Qо и Qn. В результате получим:
dV . dD _ dD
Рис. 2.1. Тепловой поток через пластину.
=
Qo-
дЯп dqn dq0
Для нахождения обобщенных сил необходимо вычислить
(2.7.9)
908Н — Q0Sq0 ^ Qn&Qn<
(2.7.10)
56
где бН — вариация Н при х = 0. В соответствии с уравнением
(2.7.(1) эта вариация равна:
п
8Я = 89о+28?п. (2.7.11)
Подставив это значение в уравнение (2.7.10) и приравняв коэффициенты б^о и 6qn в обеих частях, получим:
Qo = Qn = 0o. (2.7.12)
При этих значениях, а также используя значения V и D из выражений ('2.4.7), можно записать:
2k к tfn = J 0oJ Яо = i 8o. (2.7.13)
Решениями этих уравнений с начальными условиями qo = qn — 0
