Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА
Нестационарную реакцию тепловой системы на воздействие сил, зависящих от времени, включенных в момент /,=0, можно получить из матрицы тепловой восприимчивости Aij(p). Для этого имеется три связанных метода: преобразование Фурье, преобразование Лапласа и операционный метод.
Рассмотрим преобразование Фурье:
+ 00
Gi(m)= je~iatQj(t)dt. (3.4.1)
—00
Будем считать, что Qj(/)=0 при ^<0, тогда (3.4.1) можно записать в виде
00
Gj(m) = ^e-MQj(t)dt. (3.4.2)
О
Обратным преобразованием будет:
+ 00
Qi(0 = i je'-'Gj («•«*>) d®. (3.4.3)
—00
Если ввести переменную
р = т, (3.4.4)
5* 67
то можно записать:
+ (Об
^ = ~Ш \^Gi(p)dp. (3.4.5)
— ioo
Это выражение представляет силу Qj(t) в виде суперпозиции гармонических компонент, каждая из которых пропорциональна еш. Частное решение дифференциального уравнения
k k
2 #Л<7& 2 = Qi (0>
описывающего тепловую систему с помощью тепловой восприимчивости Ahj(p) из § 3.2, будет иметь вид:
+ (00
^ W= Ы J eptA*i (Р)G> (р) dP¦ (3-4-6)
—ioo
Не нарушая записи, будем считать, что все другие силы, за исключением Qj(t), равны нулю. Общее решение, естественно, получается как суперпозиция всех таких решений.
Необходимо доказать, что решение (3.4.6) удовлетворяет начальным условиям. В начальный момент система находится в невозмущенном состоянии, что выражается условием
qh(t)=0 при /,<0. (3.4.7)
В общем случае это условие легко проверить, деформируя путь интегрирования в (3.4.6) таким образом, чтобы при /<0 значение интеграла равнялось нулю. Это возможно для большинства задач и объясняется тем, что Akj(p) и Gj(p), являющиеся аналитическими функциями р, не имеют особенностей в полуплоскости, соответствующей действительной положительной части р. Справедливость этого для Ahj(p) подтверждает разложение по элементарным дробям (3.2.11). Справедливость этого утверждения для Gj(t) можно проверить, вычислив интеграл
(3.4.2). Однако для большинства функций, встречающихся в физических задачах, это свойство имеет место.
Это лучше всего проиллюстрировать с помощью простого примера. Рассмотрим силу Qj(t), являющуюся функцией Хевисайда,
(О ='П (0 ¦ (3.4.7а)
68
Она также называется единичной ступенчатой функцией ^(j1), определяемой как
т| (/) =0 при ^<0;
('3.4.76)
т)(t) = 1 при />0.
Эту функцию Хевисайда можно представить с помощью преобразования Фурье в виде
с+ ioo
1 Г ер‘
) ~ydp- (3-4-7в)
с—icc
Легко проверить обычными методами, что этот интеграл представляет разрывную функцию т)(0- Здесь с — произвольно малая, но положительная величина. Следовательно, контур интегрирования проходит сколь угодно близко к мнимой оси и расположен в полуплоскости, где р имеет положительную действительную часть. Если тепловая восприимчивость Ац(р) связывает отклик qk с силой Qj, то отклик qk = a,k(t) на силу, описываемую ступенчатой функцией (3.4.7в), будет:
С + 100
1 Г АМ (Р) J ,о , ч
“*(0 = ~2^Г J е —~р—dp¦ (3.4.7г)
С—<00
Поскольку Ahj(p) не имеет особенностей в полуплоскости, где действительная часть р положительна, очевидно, что, как и в уравнении (3.4.7в), ak(t)= 0 для i/<0. Следовательно, начальное условие для невозмущенной системы удовлетворяется.
Отметим, что если мы определили ak(t), реакция qk(t) на воздействие произвольной силы Qj(t) получается при суперпозиции как
интеграл Дюа.меля
t
q*(t) = J «K(t-t>)dQj(t>). (3.4.7д)
о
В этом выражении интегрирование должно производиться по Стильтьесу.
Уравнение (3.4.2) можно записать в виде
00
Gj{P) = fj e-p‘Qj(t)dt, (3.4.8)
о
где в данном случае р — действительное положительное число. Тогда функция Gj(p) является преобразованием Лапласа величины Qj(t). При заданном преобразовании Лапласа соотношение (3.4.8) является интегральным уравнением для Qj(t). Это решение является един-
ственным в очень широком диапазоне условий. Соотношение (3.4.8) известно также как интегральное уравнение Карсона.
Основная теорема теории преобразований Лапласа — теорема
о свертке — рассматривает произведение этих преобразований. Рас-
69
смотрим преобразование Лапласа Л\(р), Л2(р) от двух функций f\(t) и ЫО. определенных при ^>0:
оо ОО
Ai(/>) = j e-p*h(t)dt-, Л2 (р) = f e-p*h(t)dt. (3.4.9) о о
Теорема -утверждает, что произведение этих -преобразований Лапласа имеет вид:
ОО
А, (Р) л2 (р) = J в- (0 dt, (3.4.10)
0
где
t
МО = § fi(t-t')h(t')dt' = (3.4.11)
о б
Следовательно, преобразование Лапласа от сверши /з двух функций /1 и f2 получается как произведение преобразований Лапласа этих функций. Это свойство лежит в основе операционной алгебры, которую лето распространить на операционные методы (Л. 3-2].
3.5. ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Чтобы не записывать в явном виде интегральные преобразования, можно непосредственно пользоваться дифференциальными и интегральными операторами как
алгебраическими величинами.
Например, дифференциальные уравнения запишутся в символическом виде, если использовать символ для дифференциального оператора
Р=тг- (3.5.1)
Уравнения
к
+ (3.5.2)
можно считать дифференциальными уравнениями или соотношениями между преобразованиями Лапласа. Иными словами, переменные qn и Qj можно трактовать двояко. Они могут представлять функции времени. В этом случае говорят, что р воздействует на qh как дифференциальный оператор по времени. Эти переменные могут также представлять преобразования Лапласа.
