Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
v(xlt х9, х3, %и тх) = 0,
V (хъ *2, Х3, t, ТХ) = g (*ь хг, Х3, Ti),
д
dt ................................. < = х,
(15)
где g(xlt xit х3, т,) — заданная действительная функция, имеющая непрерывные частные производные второго порядка.
Заменой / через t — хг из формулы Кирхгофа (4) для v получаем выражение
p(*i, х3, t, тг) = 4я (^_Ti) J g(yu yt, y3, Xi)dsy.
Покажем, что функция
t
и(х 1, Xt, х3, 0 = Xt, х3, t, x1)dx1 (16)
является решением задачи Коши
и(х 1, хг, х3, 0) = 0, su(xlt Xt, х3, 01___= 0 (17)
для неоднородного волнового уравнения
d*u , d*u , d*u д*и , л ,10Ч
¦^Г + '^Г + ЖГ-w = *3’ *>¦ <18>
В самом деле, в силу (15) сразу видно, что функция и(хи х%, х3, t) удовлетворяет начальным условиям (17). Далее, на основании (15) из (16) получаем
t
^=g(x 1» х», х3, 0+ j ft2v(xu хг, xa, t, т) dx, (19)
§ S. НЕОДНОРОДНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЯ 161
Из (16) и (19) имеем
t
t
f I0L л. л.
J \dx? + dx\ + dx* dt*)
v(xlt x2, хъ t, X)<h=*
= ~g(X1. *2, X3, t),
что и доказывает справедливость нашего утверждения.
В результате замены переменного f — tj=t формула (16) запишется в виде
где г = \у — х\.
Определенная по формуле (20) функция а (х, t), дающая решение задачи (17), (18), совпадает с потенциалом объемных масс, распределенных по шару г2<Р с плотностью ё(Уъ У2, Уз> t~r)- Ввиду того, что функция g участвует в формуле (20) для значения времени t — r, отстающего от момента наблюдения за волной, этот потенциал называется запаздывающим.
2°. Случай двух и одного пространственных переменных. Приведенная выше процедура построения решения задачи Коши для уравнения (18) применима и в случаях двух и одного пространственных измерений.
Так как функция
в силу (11) является решением уравнения (7), удовлетворяющим условиям
г><1>
то выражение
t
в А. В. Бицадз*
162 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
где d — круг (*i — уг)2 + (хг — у2)2 <Z(t — т)2, представляет собой решение задачи Коши
д I
и (*1, хг, 0) == 0, щ и (xlt xt, t) Ц —'0
для неоднородного уравнения
д*и . д*и д*и . ~ /ооч
дх\ + 5x1 8 ^1‘ **’ Q • (22)
Аналогично убеждаемся в том, что функция
*+ Г —X
v (х, (, т) = ‘ J g(xb T)dTi
X — t -ft
является решением уравнения колебаний струны (13),
удовлетворяющим начальным условиям
0 I
v(x, х, т) = 0, Qtv(x, t, т)|^ —g(x, т),
а функция
t t г+t—х
u{x, t) = f v(x, t, -x)dx = \ J dx J g(Tb x)dx1 (23)
9 0 r—t+x
представляет собой решение неоднородного уравнения д*и д2и . л
дх* дР §(х> 0» _ (24)
удовлетворяющее начальным условиям
и(х, 0) = 0, | и{х, 0Ц —0.
В уравнениях (22), (24) и, следовательно, в формулах (21), (23) предполагается, что функции g(*i, х2, t), g(x, t) имеют непрерывные частные производные второго и первого порядка соответственно.
§ 3. Задачи, корректно поставленные для гиперболических уравнений
1®. Единственность решения задачи Коши. Докажем, что задача Коши в приведенной выше постановке для волнового уравнения (как однородного, так и неоднородного) не может иметь более одного решения. Для простоты
« 3. ЗАДАЧИ. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ
163
рассуждения ограничимся рассмотрением случая одного пространственного измерения хх~х.
Если иг (х, t) и м2 (*> О являются решениями задачи Коши для уравнения (24), то их разность мх(х, t) —
— и2(х, t) = u(x, t) будет решением уравнения колебаний струны (13), удовлетворяющим начальным условиям
и(х, 0) = 0, ~и(х, t) 1^ = 0. (25)
Итак, нам следует показать, что однородное уравне-
ние (13) не может иметь отличного от нуля решения, удовлетворяющего однородным начальным условиям (25). Интегрируя очевидное тождество
0 ди (д*и д*и\ 0д^ ( ди ди\ , д (ди \2 , д (ди \2 _ п
^дГ\5ж* dt1)** *дх[дх dt dt [дх ) + dt [dt) _u
по треугольной области Д с вершинами в точках А (х — t, 0), B(x + t, 0), С (х, t) и используя формулу (GO), получаем
- j <*> ЛВ + ВС + СА
Вдоль АВ в силу (25) имеют место равенства ^г = 0,
^ = 0. Кроме того, так как уравнения прямолинейных
отрезков ВС, СА имеют вид ? =— т-\-x-\-t, ? = т-\-x-t, то вдоль этих отрезков имеем соответственно d% = =—dj,d^ = dx. Поэтому равенство (26) можно переписать в виде
ВС СА
ИЛИ
о о
du ди п ди , ди п
откуда следует, что -щ “ ^ = на ^ и дт = на
6»
164
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
АС. Следовательно, в вершине С (х, t) треугольника А
ди ди п ди , ди п имеют место равенства ^ = 0, = 0, т. е.
^- = 0, ^ = 0. дх ’ dt
Так как точка С (х, t) выбрана произвольно, то равен-ди п ди п
ства ^ = 0, -щ = U имеют место всюду на плоскости переменных х, t. Это означает, что и(х, t) = const. Но в силу (25) функция и (х, 0) = 0, откуда следует, что и (х, t) = 0 всюду.
Если иг (х, t) являются решением неоднородного уравнения (24), удовлетворяющим неоднородным начальным условиям
иг (х, 0) = ф (*), д( Mi (х, t) t_o = ij) (x), (27)
то, обозначив через м2 (х, t) решение однородного уравнения (13), удовлетворяющее неоднородным начальным условиям (27) (как известно, это решение строится по формуле Даламбера), разность ых(д;, t) — u2(x, t) = u(x, t), очевидно, будет решением неоднородного уравнения (24), удовлетворяющим однородным начальным условиям (25). Аналогичной редукцией часто приходится пользоваться на практике.
