Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
'84 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
ных порядка k от искомого решения и(х, t) этой задачи следует требовать существования производных порядка k от функций ф(х) и (х). Определенная по этой формуле функция и(х, t) независимо от степени гладкости данных Ф (х) И1|) (х) называется обобщенным решением задачи (13), (34) из главы III. При наличии разрыва у ф(лг) или ip (к), когда х = 1, и функция и (х, t) будет иметь разрыв вдоль характеристик x-\-t = 2| или x — t — 2\, т. е. разрывы у данных ф (х) и г|) (х) влекут за собой разрывы у волны и (х, t) вдоль характеристик уравнения колебаний струны.
ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений
1Ч. Общие замечания. В настоящей главе речь будет идти об интегральных уравнениях Фредгольма второго рода
<р(х)-Я, J К(х, у) ф (у) dy — f (х), xezD (xe=S), (*)
D(S)
где интеграл распространен по ограниченной области D евклидова пространства Еп или по ее гладкой границе S, ядро К (х, у) и правая часть f (х) являются заданными действительными непрерывными функциями точек х, у, Ф (х) —искомая функция, а X —параметр.
Интегральное уравнение
Ф°(*)-А, \ К(х, у) ф° (у) dy = 0 (1)
D(S)
называется соответствующим (*) однородным уравнением, а однородное уравнение
] К(у, x)Hf(y)dy = Q (2)
D(S)
— союзным с (1) однородным уравнением.
Ниже основные утверждения теории интегральных уравнений будут сформулированы и доказаны, когда D представляет собой конечный интервал (а, Ь) действительной оси, т. е. в случае уравнения
ф(*) К {х, у) ф (у) dy = f(x). (3)
а
Попутно будет рассмотрено интегральное уравнение с переменным верхним пределом интегрирования, т. е. интегральное уравнение Вольтерра второго рода
К
у(х)-Х[К{х, y)<f>{y)dy = f(x), х>а. (4)
188
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Легко видеть, что общее решение Ф (х) интегрального уравнения Фредгольма второго рода, когда оно существует, имеет вид
Ф (¦*) = Ф° (¦*) + Ф (¦*)» (5)
где ф° (х) — общее решение соответствующего (3) однородного уравнения (1), которое в рассматриваемом случае имеет вид
Ф°(х)-Х, $/((*, y)(?(y)dy=*0, (6)
а
а ф (х) — частное решение однородного уравнения (3).
Действительно, если Ф (х) и ф (х) — соответственно общее и частное решения неоднородного уравнения (3), то их разность ф° (*) = Ф (*) — ф (*) будет решением уравнения (6), и тем самым равенство (5) доказано.
2°. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра методом последовательных приближений. В случае, когда параметр А, удовлетворяет условию
(7)
где М — положительное число такое, что
J | /С(де, y)\dy^M, a^x^b, (8)
а
решение ф (х) уравнения (3) существует и его можно построить методом последовательных приближений.
Сущность этого метода заключается в том, что функция ф (лс) ищется в виде предела последовательности
ь
Фо (*) = /(*). Фв (*)=*/(*) +я<$ Ж*, У) Фл-1 (у) dy, л«=1, 2, ...
Как известно из курса математического анализа, сходимость последовательности (9) равносильна сходимости ряда
фо (*) + J] [ф/. (х) - фл-Х (*)]• (10)
а —1
§ 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 187
В силу (8) имеют место оценки
|Фо(*)|«?/п,
|ф«(*)-фп-1 (*)|=s?/n|A,|"Af", п=1, 2, (11)
где т = шах |/(х)|.
о ^ х ^ Ь
Таким образом, каждый член ряда (10) по модулю не
превышает соответствующего члена положительного число-00
вого ряда т\Х\пМп, который в силу неравенства (7)
л—О
сходится. Следовательно, ряд (10) и, стало быть, последовательность непрерывных функций (9) сходятся абсолютно и равномерно к непрерывной функции ф (дг):
00
фМ = Пшфл (х) = фо (X) + 2 [фл (х) - фя-1 (*)]•
о-*оо .1 = 1
Переходя к пределу при п -> со (все условия для такой операции соблюдены) в равенстве
ь
ф„ {x) = f(x) + X\K {х, у) Фл—1 (у)dy,
а
получаем
ь
ф (*) = / (*) + ЦК (х, у) ф {у) dy,
а
а это означает, что ф (лг) ярляется решением интегрального уравнения (3).
Легко видеть, что у уравнения (3) других решений нет. Действительно, предположим, что наряду с функцией ф (я) и функция i|)(x) является решением уравнения (3). Тогда 9 (дг) = ф (х) — -ф (х) будет решением однородного уравнения (6), т. е.
0(х) = Я, $/((*, у) 0 (у) dy,
а
откуда находим, что
80sS I А,| Л18о, б0= шах | б (дг) |.
а ^.х ^ Ь
Полученное неравенство противоречит неравенству (7), если
0о=^О.
188
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Следовательно, б0 = 0 и, стало быть, 0 (я) = 0, т. е.
4>(*) = ф(*)-
3°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода.
Повторяя приведенное выше рассуждение в случае интегрального уравнения Вольтерра второго рода (4), будем иметь
фо (*) = f (*), ф„ (x) = f{x) + X\K (х, у) Фл—1 (у) dy, (12)
а
IX I» Мп {х—а)п
|фя(х)~Фл-iW|«?/п------------^------, я = 1,2,..., (13)
т = шах !/(х) |, Л1* =тах \К(х, у)\.
Так как функциональный ряд в положительными членами
п= О
сходится равномерно при любом конечном значении параметра X, то в силу оценок (13) последовательность функции (12) сходится равномерно и, стало быть, функция
Ф (*) = lim ф„ (*)
П-*00
является решением интегрального уравнения (4).
