Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так как при геС(г, г°)
(^1 ^1) • • • (tn ^п)
причем ряд сходится равномерно относительно положения точки t на остове полицилиндра С (г, г°), то из формулы (129) получаем
где М = max | / (г) | при zeC(r, z°), откуда следует абсолютная и равномерная сходимость степенного ряда в правой части (130) в полицилиндре С(р, г°), где р = (Pi, • • • I Рл)> Pft Тk> 6 = 1 , .. . , П.
Таким образом, доказана следующая теорема Тейлора: аналитическая в области D функция f (z) в окрестности каждой точки 2°еО представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда (130), коэффициенты которого вычисляются по формуле (131).
Поскольку в силу формулы (129) п С .. f
где
(131)
Из формулы (131) имеем
5 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
149
для коэффициентов р* _ fe наряду с формулой (131) имеем
<132)
На основании изложенных выше свойств степенных рядов и теоремы Тейлора заключаем, что приведенное в пункте 2° настоящего параграфа определение аналитической функции эквивалентно определению: однозначная в области D функция F(z) называется аналитической, если для каждой точки г°еО существует окрестность, в которой F (г) можно представить в виде сходящегося (iабсолютно) степенного ряда
F(*) = 2 Y*,...(*i -Ф .'.(Zn-Zl)k». (133)
Пользуясь интегральной формулой Коши, непосредственно убеждаемся в том, что коэффициенты ... ип однозначно определяются по формулам (131) и (132), в которых функция f заменена через F. В случае действительных гъ ..., гп это определение аналитической функции совпадает с известным из курса математического анализа определением аналитичности функции многих действительных переменных.
5Q. Аналитические функции действительных переменных. Функция f(x) называется аналитической в области D евклидова пространства Е„, если для каждой точки х° е D существует параллелепипед
1 %% I 6=1, •.. , П,
в котором f(x) представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда
/(*)“ 2 °*i ••• *„ (*i ~ • (¦*» — хп )*"• (134)f
ki^°...*я>°
Коэффициенты этого ряда, очевидно, выражаются через f(x) по формулам
1 (д *1+-+*»Д
Класс аналитических функций обширен. В этот класс входят, в частности, гармонические функции. При дока-
150
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
зательстве аналитичности гармонических функций обычно пользуются формулой Пуассона (см. формулу (20) из гл. I). Мы здесь ограничимся рассмотрением гармонических функций в случае п — 2.
Итак, пусть xi~=x, х% = у и х1 = х0, х\ = у0, a D — область плоскости комплексного переменного z = х-{- iy, в которой задана гармоническая функция и (х, у). В круге | г — г01С /?, где z0 = x0 + iy0 — произвольно фиксированная точка в D, а число R меньше, чем расстояние
от z0 до границы области D, функцию и (х, у) представим по формуле Шварца (см. формулу (86) настоящей главы):
«(*>г/)=Ке(1 J ^+с\ (135)
\ |<-г,| = Я /
Поскольку при I Z — Z„ ! < I t — Z„ I
I X (»-Zo)* k =»0
из формулы (135) имеем
00
u(x, y) = Re ? P*(z-z0)‘, (136)
fe=0
где
д ! f И (0 ^ I /->
|f—ar. |=/?
ft L. С u (0 ju i n —¦
Pk~ni J ’ ' •**
|if—z„| =/?
Группируя члены в правой части (136) соответствующим образом (такое право мы имеем из-за абсолютной сходимости степенного ряда), получаем ряд по степеням х — хо и у — у0:
00
«(*. «/)=¦= 2] Уы(х-х0)к(у-у0у, (137)
к, /=О
коэффициенты которого вычисляются по формуле
1 / д^+Ju \
S в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
151
Так как ряд в правой части (136) сходится при \г — z0|<i?, то степенной ряд (137) сходится абсолютно в параллелепипеде | х — Xq |<ги \у — уа\<.г%, где г\ + + г! < R*, и тем самым аналитичность и (х, у) доказана.
Поскольку ряд (137) сходится абсолютно в полицилиндре С (г, г„) комплексных переменных z1 = x-\-ix', 2» = г/ + iy' при г\ + < R*> то его сумму
представляющую аналитическую функцию в С (г, г0) (см. пункт 3° настоящего параграфа), естественно называть аналитическим продолжением гармонической функции и (х, у) из параллелепипеда \х — х0\<.гъ \у — Уо\<г% в полицилиндр С (г, z0).
6°. Конформные отображения в евклидовых пространствах. В области D евклидова пространства Еп точек х = (Хх....х„) рассмотрим систему действительных функ-
ций yi = yi(xj, ..., хп), 1 = 1, ..., п, непрерывных вместе с производными первого порядка, осуществляющую взаимно однозначное отображение области D на некоторую область Did Еп.
В векторных обозначениях это отображение запишем в виде
Для квадратов \dx\* = dxdx, \dy\*=*dydy расстояний между точками х, x + dx и у, y + dy (элементов длин) примем обозначения ds2 и da* соответственно.
Отображение (138) называется конформным по Гауссу, если существует такая скалярная функция А,(х), что
Другими словами, конформность отображения (138) означает, что имеет место постоянство искажения масштаба (элемента длины) по всем направлениям, выходящим из точки х.
Условие (139) равносильно равенствам
ОО
ы (Zl, Z2) = ? Yv (Zi - Xo)k (z2 - y0y,
k. l-o
У = У(х).
(138)
da2 = A, ds*.
(139)
(140)
t kt if k = 1, ... p fit
152
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
При отображении (138) векторам dx и блг, выходящим из точки х, соответствуют векторы dy и б г/, выходящие из точки у. Так как
