Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Говорят, что заданная в области D функция Ф(г) непрерывно продолжима всюду на границе S этой области, если для любого t е S существует предел
НшФ(г), zeD.
Z-+t
Из приведенного выше рассуждения следует, что представленная интегралом типа Коши функция при принятых предположениях относительно S и f непрерывно продолжима на S как из D+, так и из D~.
Функцию 'ф (г), аналитическую как в D+, так и в D* и непрерывно продолжимую всюду на границе S этих областей, будем называть кусочно-аналитической (или кусочно-голоморфной) на плоскости комплексного переменного г. Из выводов предыдущего пункта следует, что
s 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 137
представленная интегралом типа Коши (97) функция F (г), когда плотность f(t) удовлетворяет условию Гёльдера, является кусочно-аналитической.
Разность Ф+ (t) — Ф~ (t) = g (О будем называть скачком кусочно-аналитической функции Ф(г).
Когда Ф+ (t) и Ф~ (t) являются непрерывными функциями и g(t) = 0 всюду на S, в силу доказанного в пункте 2° предыдущего параграфа принципа непрерывности заключаем, что Ф(г) является аналитической функцией на всей плоскости переменного г и, стало быть, в силу пункта 6° § 3 настоящей главы Ф(г) либо постоянна (в частности, нуль), либо полином, либо целая трансцендентная функция.
5°. Приложения к краевым задачам. В приложениях часто встречается следующая краевая задача: требуется определить кусочно-аналитическую, функцию Ф(г) по краевому условию
Ф+(0-Ф-(0=?(0. (108)
где g (t) — заданная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера.
Когда S — замкнутая кривая Ляпунова, одно из решений задачи (108) в силу формулы (106) дается интегралом типа Коши
Если обозначить через Ф (г) общее решение этой задачи, то для разности Ф (z) — ФДг) = й (г) в силу (108) будем иметь
Q+(0-Q-(0 = 0, <eS,
и, следовательно, Q (г) = Р (г), т. е.
ф(г)=4]т=г+р(2>’ (109)
где Р (г) — произвольная целая функция.
Если в задаче (108) дополнительно требовать, чтобы Ф(г) на бесконечности имела полюс порядка п, ns* 1, или была ограничена, то в формуле (109) в качестве Р(г) следует писать соответственно произвольный полином степени п или произвольную постоянную С.,
188
ГЛ. И. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
Так как в окрестности бесконечно удаленной точки в силу (109)
ОО
—55 2 iM г<о<*<и+л,й,
*=¦0 S
то решение задачи (108), имеющее нуль порядка п на бесконечности, всегда существует при п = 1 и существует лишь при соблюдении условий
\g{t)tkdt = 0, 6 = 0, ...,л-1,
s
при п> 1, причем в обоих случаях имеет место единственность решения и это решение дается формулой (109), в которой Р (г) = 0.
Решение задачи отыскания кусочно-аналитической функции Т (г), удовлетворяющей краевому условию
y+(0+y-(0=?(q. ^s,
очевидно, дается формулой
reD+, zeD-,
где Ф(*) — решение задачи (108).
Когда S представляет собой прямую, например действительную ось, a D+ и D~ обозначают соответственно верхнюю и нижнюю полуплоскости, то решение задачи (108), ограниченное на всей плоскости, дается формулой
фМ-яЛ^+С’ 010)
*»-{ ф(г)'
—во
еде С—произвольная постоянная.
Для того чтобы убедиться в справедливости сформулированного утверждения, отобразим конформно
— “'“Гр
верхнюю полуплоскость D+ на круг | w | < 1 (см. пункт 5° § 1 настоящей главы).
Если Ф (г) — решение задачи (108) в рассматриваемом случае, то функция
* И-® ('{*;) <ш)
s В. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 139
будет решением краевой задачи
F*(T) — F-(T)=*gl(T)t |т| —1, (112)
где
Ограниченное решение задачи (112) в силу (109) имеет вид
-и I <113>
|т| = 1
где Сх — произвольная постоянная. В силу (111) из (113) получаем
— со —со
где
г\ /-* 1 С 8 (0 dt
° Cl 2лi ) t+i '
— 00
Интеграл в правой части (110) понимается как предел выражения
I (И4)
когда положительные постоянные N' и N" независимо друг от друга стремятся к бесконечности. Очевидно, что в этом случае от функции g(t) следует потребовать, чтобы для достаточно больших 11 | она имела вид
*(*)“°(т7р)’ Н>0>
где О (у7])г)“бесконечно малая величина того же порядка,
что и jjpf при f-*- оо. Когда же для достаточно больших 111
g(0 = const + о(-|7]7[). h> 0, const Ф О,
в выражении (114) надо считать, что N' = N", т. е.
140
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА
интеграл в правой части (110) следует понимать в смысле главного значения.
Пользуясь решением (110) задачи (108), легко получить формулу Шварца
FW=al'-&!r+iC’ <u5>
— СО
определяющую с точностью до чисто мнимой аддитивной постоянной 1C ограниченную, аналитическую в верхней полуплоскости D+ функцию F (г) = и (л;, у) -f iv (х, у), непрерывную вплоть до действительной оси у = 0 и удовлетворяющую краевому условию
R eF (t) = f (t), — со <?<co, (116)
где = Л>0, для больших |/|.
Действительно, запишем условие (116) в виде
F+(0 + ^40 = 2/(0, — оо < / < оо, (117)
и введем функцию
oW-( zseD*’
I —F(i) = — F (г), г е D~.
Функция G (г) непрерывно продолжима на всю действительную ось как из D+, так и из D~. Поскольку Р (г) = = и(х, —y) — iv(x, —у) при геО-, условие (117) равносильно условию
G+(t) — G~(t) = 2f(t), — оо</<оо.
