Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В статическом поле, где ip и А не меняются во времени, выражение слева в квадратных скобках остается постоянным.
Уравнение (9.7) дает возможность определить скорость частиц, попадающих в сильное электрическое поле с весьма малыми начальными скоростями. Их кинетическая энергия после прохождения разности потенциалов V будет
mciIvrkm-'}=eV' <9-8>
л их скорость
Г ' е V
У г
Классическая формула
«с.,. = -/2 ±Vt
е V
является хорошим приближением, когда — —3 мало в сравнении с единицей. Формула (9.8) показывает, что изменение энергии частицы равно произведению ее заряда на разность потенциалов. Этой формулой пользуются во всех случаях, когда энергия частицы при эксперименте определяется ускоряющей разностью потенциалов, как, скажем, это имеет место в электростатическом генераторе Ван-де-Граафа.
В камере Вильсона скорость заряженной частицы обычно определяется измерением радиуса кривизны ее траектории в постоянном магнитном поле, перпендикулярном направлению скорости. Определим этот радиус.
Ускорение заряженной частицы в магнитном поле определяется уравнением (9.3)
) = -uXH. (9.10)
<*Ду I-U2Ic3J с
Из уравнения (9.7) видно, что, когда H не зависит от времени, скорость а остается постоянной. Поэтому можно заменить вектор U произведением постоянной скорости и на единичный вектор s, параллельный и и меняющий с течением времени свое направление. Левая часть уравнения (9.10) переходит в
ти ds
а правая равна:
V1 - U3Ic2 dt '
7 es X н,
так что для (9.10) получаем
т da е
Fr=Sp «=7SXH' (ft,0a>
Заменим теперь дифференцирование по t дифференцированием по длине дуги /. Так как ^ есть скорость и, те вместо (9.10а) получим
ям ds = ? Y1 — U1Ici dl с * ' где s — единичный касательный вектор вдоль пути и, сле-ds
довательно, является кривизной, обратная величина которой представляет собой радиус кривизны R. Отсюда имеем
Y^m = R' ^ И-sin (S1H). (9.12)
Угол (s, Н) постоянен вдоль пути. В этом легко убедиться путем скалярного умножения уравнения (9.10а) на Н, при этом правая часть обращается в нуль, в левую же часть в качестве множителя войдет производная от (S-H) по t. Поэтому частица будет двигаться по винтовой линии. Если S и H взаимно перпендикулярны, траекторией будет окружность. В этом случае произведение RH определяет величину релятивистского импульса частицы
RH = I--^w= = Lp. (9.13)
е Kl — U1Ic2 е
Зная ей т, можно найти скорость и энергию частицы.
Иногда определяют отклонение заряженной частицы в электрическом поле, перпендикулярном ее траектории. Ускорение попрежнему определяется уравнением (9.3)
-/ ОТИ \ = еЕ. (9.14)
dt Wl — u4e*f * '
Пока E и и взаимно перпендикулярны, скорость и остается постоянной. Вводя опять единичный вектор s, вместо (9.14), получим:
Переход к переменной длины дуги I приводит к уравнению т"2 d-± = eE, (9.146)
Y\ -U2Ic2 dl или, вводя радиус кривизны R, ти2
В случае электрического поля траектории, конечно, не являются кругами. Уравнение (9.15) дает радиус кривизны только той части траектории, в которой направление движения перпендикулярно силовым линиям.
Для определения как массы покоя, так и скорости частицы необходимо исследовать ее поведение одновременно в электрическом и в магнитном полях. Можно, например, сообщить частице определенную энергию, ускоряя ее заданной разностью потенциалов [уравнение (9.8)], а затем по отклонению в магнитном поле определит^ ее импульс [уравнение (9.13)]; в таком случае одновременна вычисляются и масса и импульс частицы.
Опыты подобного рода использовались и для проверки релятивистских законов движения; при этом исследовалось множество частиц одного сорта, но обладавших различными скоростями. Все эти эксперименты подтвердили правильность релятивистских законов. Подробное описание этих экспериментов можно найти в статье В. Герлаха ').
Поле быстро движущейся частицы. Частицы, входящие в состав космических лучей, обычно движутся со скоростями, близкими к скорости света. Их электромагнитное поле родственно с электромагнитными волнами.
Определим поле такой быстро движущейся частицы. Для этого найдем сначала поле частицы в системе координат, в которой она покоится. Пусть в системе S* частица всегда находится в начале координат: х*=у* = г* = 0. Ее поле в этой системе чисто электрическое и задается уравнениями:
K=eKIr*8' (9.16)
Преобразование к другой системе координат S проведем в два этапа: сначала преобразуем компоненты электромагнитного поля, согласно уравнениям (7.22в), а затем выразим координаты, отмеченные звездочкой, через неотмеченные.
і) W. Gerlach, Handbuch d. Physik, 22, pp. 61-62, Berlin, 1926. Уравнения преобразования, обратные уравнениям (7.22в), получаются заменой знака при v противоположным. Так как все компоненты Н* равны нулю, то получаем
Hi = (I-V^)-1I'. Et2,
(9.17)
Hi = -(I-V2Ic2)-tI,.
H1 = О, E^=Ei,
?, = (1- El,
E& = (\—v*jc*)-4>. El Векторы H и E взаимно перпендикулярны.
Найдем Es как функции 5-координат. Расстояние г дается выражением:
