Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
[Утверждение автора о том, что в специальной теории относительности в выражении для силы Лорентца никогда не учитывается собственное поле частицы, неточно. Собственное поле может быть, по крайней мере отчасти, учтено Ii фактически учитывается введением силы радиационного треиия. Подробнее см. Ландау иЛифшиц, «Теория поля», ГТТИ (1941), и Паули, «Теория относительности», ГТТИ (1947). (Прим. ред.)] Уравнения (7.28) и (7.29) являются уравнениями Эйлера-Лагранжа следующего вариационного принципа
Є J L(c) dt = 0,
^w=S «*..
Импульсы, канонически сопряженные координатам, равны
+ (7.31)
а гамильтониан
Я<<> = -?<<> + ^ = 2-1(^>- ?.Asy + e<t =
Рассмотрим лагранжиан Uc). Выражение
? —7«Ч (7.33)
отличается только множителем от лорентц-инвариантного скаляра. Действительно, умнйжая его на (1—и2(с*)—Ч>, получим
Что же касается первого члена в Z.W, то, как мы знаем, в релятивистской механике он должен быть заменен выражением (6.51). Это выражение (при A = O)
— Tnci V 1 — UiIci (7.35)
также отличается от скаляра на тот же множитель У і — UiIc1. Таким образом, выражения (7.35) и (7.33) преобразуются одинаковым образом. Умноженные на dt, они
(7.30)
(7.32) становятся скалярами. Поэтому можно образовать следующий лорентц-инвариантный интеграл
p9
'=J
р.
— тс2 УI — u*jc*-etp-j- — UsAs
dt. (7.36)
Соответствующие ему уравнения Эйлера-Лагранжа также должны быть лорентц-ковариантны. Выбирая за параметр т, для (7.36) получим
-.и-теУ^иЧТ + ^Щ, p. I
dz, Uf = d^. (7.37)
Кроме того что этот интеграл лорентц-инвариантен, он обладает еще одним важным свойством. Мы видели, что <рр определяется через <рро с точностью до градиента. Поэтому прибавление произвольного градиента к <рр не должно влиять на получающиеся из лангранжиана уравнения движения. При замене в (7.37) через <р из (7.27) интеграл преобразуется в следующий:
_ р, P1
р. р,
=/+7 [Ф CV-Ф C1)]. (7.38)
Значение интеграла / меняется при градиентном преобразовании, но изменение это зависит только от значений Ф в конечных точках, а не вдоль всего пути интегрирования. Вариация / при фиксированных пределах интегрирования поэтому не меняется при градиентном преобразовании; другими словами, уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие вариационной проблеме
S/=0,
обладают градиентной инвариантностью.
Первый член подинтегрального выражения в (7.37) может быть заменен любой скалярной функцией, удовлетво- рякнцей уравнениям (6.62) и (6.64). Однако, если за параметр выбрано t, то (7.36) дает единственный лорентц-ин-вариантный лагранжиан, ведущий к градиентно-инвариантным уравнениям.
Используя сначала лагранжиан (7.36), получим для импульсов
__ mus - е д
Ps~ du* У 1 —tt2/c2"*" с"
(7.39)
где Us определяется из
1-1 Ш
-V2
. (7.40)
Подставляя эти выражения в LW и psus найдем
I 1 УIt--7 ЛЬ I
Li»)
'=L1+ J* v-^2+
е Ps--As
+7^ ИГ
— е?
(7.41)
Г U
тЧ1
отсюда для //W получаем:
-1Ii
kP'(Ps-TAs)-> (7-42)
Hi 0 = ОТС2
[.+M^-T
1 тсг J
+ «?. (7.43)
Уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие (7.36):
'.+ ff.«» Уравнения Гамильтона, соответствующие уравнению (7.43): Ps = -
m L
-V2
[Pk — 7 Л*) Aktt-
(7.45)
— e^ = eu*Ak,s — e<piS при
Уравнения (7.45), конечно, эквивалентны уравнению (7.44). Уравнение (7.44) дает выражение, наиболее удобное для практических применений.
Можно получить формулы более симметричного вида, используя в качестве параметра т. Заменим первый член в (7.37) выражением
которое удовлетворяет уравнениям (6.62) и (6.64). Такой выбор функции Ф в уравнении (6.62), конечно, произволен, но с его помощью мы получим очень простые уравнения. Лагранжианом будет выражение
Z.M = — і mc\%UlU*-\-~U\. (7.47)
Импульсы равны а уравнения Эйлера-Лагранжа принимают форму
+ mc^-^'+i^ = 0
или
-««4.^ = 7 (7'49)
Первые три уравнения (7.49) идентичны с уравнением (7.44), умноженным на Четвертое уравнение не является независимым от первых трех. Свертывание уравнения (7.49) с Ut приводит к тождеству
= 0. (7.50)
Второй член тождественно обращается в нуль из-за антисимметричности tpop. Первый член также равен нулю по следующей причине: компоненты Uf представляют собой компоненты единичного вектора; дифференциал же вектора постоянной длины всегда перпендикулярен самому вектору. Несколько иным путем это можно показать так:
V^ і (?.^ =T і (1) = 0. (7.51)
Отсюда видно, что уравнение (7.49) содержит только три действительно независимых уравнения.
Вектор Ui может быть выражен через импульсы посредством уравнений
V=-MP1 ~7 (7-52)
Теперь можно найти Жт>:
(^1 7 tP') (/"-7*') ¦ <7"53> Уравнениями Гамильтона будут
dt — 'ліс» V С т ; с T Они эквивалентны уравнениям (7.49).
(7.54) Глава VIIl
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД *
Предварительные замечания. Уравнения поля Максвелла содержат плотности заряда и тока. Известно, что в действительности заряд распределен в пространстве не непрерывно; заряд не равен нулю только в областях пространства, занятых элементарными частицами — электронами, протонами и т. д. Пока неизвестно, имеют ли эти области конечные размеры или являются „точками" и справедливы ли уравнения Максвелла внутри этих областей. Только при „макроскопической" трактовке при некоторых условиях возможно считать концентрированные заряды равномерно распределенными по некоторому объему и таким образом получить среднее электромагнитное поле.
