Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
__________________________________________________________ (5-2)
(9) В = V4100+ sin (Зф1 + ф2).
При приведении гамильтониана к виду (5.1) считаем, что + 2/v,v2lnii2 Ф 0,
а в формулах преобразования (4.10)
sin 40=-------..-.^>1^'-....
V а* 4- v%
cos 40 = Ууу.п,п, ---------------_
V 3?
РЕЗОНАНС ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
103
Выражения для коэффициентов ci} таковы:
21%
С20 = ^ (^2020 ~"Ь 3/ioo40 + ЗЛ40о0) dt,
0
2 Я
С11 = 2^~ ^ (^2200 + Л0220 + ^2002 + Лс022) dt, (5-3)
о
2Л
С02 = ^ (^0282 + ЗА-0004 -)- ЗЛ0400) (if.
0
Величины ZviVsHiHj И Уч jVaH.Hi, входящие в (5.2), вычисляются по
формулам (4.9), в которых надо положить
М0040 = ~2 (^0040 + КоВД ^202о)> *4)040 - у (^3010 ^103о)>
Н0"04 = у (^0004 + ^0400 ^0202)-" ^0004 = у (^0301 ^ОЮз); .
= ~2 (^1300 -Г ^0013 - ^1102 -- ^021l)> У1300 = ~2 (^0112 "Ь ^1003 -
Лозю ifl20l)l
= ~2 (^3100 + Ло031 - ^1120 -- ^2!ll)> У3100 = у (^1021 + ^0130 ---
-
^2110 ^3001 )l
' 1 II iZ-j5^ I ^ \ f 1 /J 1
^2200 - "2'\Лой22+Лзд1Ю ^0220 Л2)02 ЛХХХХ^> ^2200" "2
\Л0Х2Х "Г ЛХ0Х2 -
^1210 ^210l) •
(5.4)
В формулах (5.3) - (5.4) величины AJ.v^n, суть коэффициенты при
соответствующих степенях q*'Vtqtv,Pit>'lp*ll' в функции #*, вычисляемой
по формулам (4.5).
Для каждого из резонансных случаев (5) - (9) введем величины Aj, В)
формулами
Ab = Vхщ0 + Уо040. Въ = с20,
¦^6 2/0004' В6 С02)
Ач = V ^|soo+ г/22оо> В-t = с20 + си + с02, (5.5)
^8 = 3 ]/3 (?j300 + У1Ш), Bs = с20 + Зсц-f- 9с02,
¦4з - 3 КЗ (?д100 + 2/д100)> = 9с20 + Зсц + с02.
Теорема. /7/ж выполнении неравенства А, ^> | 5; | положени-равновесия
неустойчиво, при А} <^ \ В} \ имеет место устойчие-
''•1300
-63100
104
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
востъ при учете в функции Гамильтона (5.1) членов не выше второго порядка
по Г|. Если в (5.1) функция Н - Н' будет знакоопределенной функцией, то
положение равновесия формально устойчиво.
Докажем теорему в случае (5). Для доказательства первого утверждения
возьмем функцию Четаева в виде V = F1F2, где
Fi = - т\, V, - r\ cos 4афх (5.6)
(а = 1 + е, 0 < е 1, 2 < а < 3).
За область F 0 примем область (Fx 0, -л/8 а < ф < я/8а). В этой области
г2 = |5г"/2 (0 < Р < 1). Для производной получаем такое выражение:
= 4г"+3{(аЛ5 cos 4фх + Si) cos 4афх + 2 (1 - ft2) х X [Аъ cos 4еф! - Вь
sin 4аф! + е sin 4аф! (Л5 sin 4фх - Въ) + ?г]}; (5.7)
где функции gx и g2 сколь угодно малы при ги стремящемся к нулю.
Из (5.7) видно, что при As | В5 | величину е можно выбрать настолько
малой, что функция dV/dt будет определенно-положительной в области F 0 в
достаточной близости к началу координат. Тем самым утверждение теоремы о
неустойчивости доказано.
Второе утверждение теоремы доказывается очень просто. "Укороченная"
система с функцией Гамильтона Н - Н' имеет два интеграла г2 = const и Н -
Н' = const Для доказательства устойчивости "укороченной" системы
воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости. Функцию Ляпунова W
возьмем в виде
W = 4 + (Н - H'f. (5.8)
При .<45<;|#5l эта функция, как легко видеть, будет определенно-
положительной, откуда, согласно теореме Ляпунова, следует утверждение
доказываемой теоремы.
Покажем теперь справедливость третьего утверждения теоремы. Применяя
преобразование Биркгофа, а затем преобразование (4.10), гамильтониан
(4.1) можно формально привести к функции, не зависящей от t во всех
порядках. Тогда выражение G = Н будет формальным интегралом исходной
системы дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона (4.1). Получаем
G = (?4 -4* С?5 (G4 = Н - Н').
Поэтому, если Н - Н' будет знакоопределенной функцией, то положение
равновесия формально устойчиво. Теорема полностью доказана.
§ 5] РЕЗОНАНС ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 105
В резонансном случае (7) неустойчивость доказывается при помощи функции
Четаева V = FiF2, где
Fi = - (гг - т-2)2, F2 = ггг2 cos 2а (фг + ф2)
(а = 1-1- е, 0 2 < а < 3). (5.9)
Устойчивость "укороченной" системы в случае (7) доказывается при помощи
функции Ляпунова
ИГ = (гх - г2)2 + (Я - Я')2.
В случае (8) функцию F можно взять в виде F = FiF2, где
Fi = г" - (г2 - Згх)2, F2 = г2 К4^2 cos а (фх + Зф2)
(а = 1 + в, 0 <С е 1, 2 <; а < 3), а функция W в этом резонансном случае
может быть взята в виде
W = (г, - Згх)4 + (Я - Н')2.
Рассмотрение резонансов (6) и (9) аналогично рассмотрению резонансов (5)
и (8) соответственно.
ГЛАВА 6
МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НОРМАЛИЗАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Необходимые понятия и определения
Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории
гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной
формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при
помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной
нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она
сводится к проведению некоторых алгебраических операций над
алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче
требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов
