Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Эта лемма является обобщением на резонансный случай результата,
получаемого при помощи преобразования Биркгофа, приведенного в главе 3 в
случае отсутствия резонансных соотношений между величинами Xj. На
доказательстве леммы мы не останавливаемся, так как оно почти дословно
повторяет соответствующие рассмотрения главы 3.
Пусть 2rj = t,jZj (rj > 0). Система уравнений (2.9) имеет два типа
формальных интегралов:
1) (р, г), где векторы рт = (р1,. . .,рп) ортогональны к действительной
линейной оболочке векторов тт = {тг, т2,. . . ,тп), являющихся решениями
уравнения (2.7);
2)
iF = 2iT - i (X, г).
Действительно,
^ й (ь ¦щ - Ь-^-) = VW ¦в, - КЗ
^TrL=?,VM<P.I-t)e,m?S1. (2.13)
Так как вектор 1 - к является решением уравнения (2.7), то все
коэффициенты в правой части (2.13) равны нулю.
Далее очевидно, что
= 2*4- = (2-14)
d2iY
dt _____
*, I
94
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
Из формул (2.13) и (2.14) получаем
rfl2|r-'(^ = 21^ - i (l, ?) _ i ?Щ [N - [X, 1 - k)] e"4V.
1:,l
Из (2.12) следует, что все коэффициенты в последнем разложении равны
нулю.
Таким образом, существование формальных интегралов 1),
2) доказано. Пусть pW,. . ., p(s> - базис линейного множества векторов
р. Если существует т линейно независимых резонансных соотношений (2.3),
то s = п - т. Сумма
G = S (р0>, rf + Е2 = Ga + .. .
3=1
является формальным интегралом, как полином от формальных интегралов.
Покажем, что из условия (2.6) следует положительная определенность формы
s / п \2 Gg = 21 (Р0)> r)4 + I S актгкгт) .
3=1 (с, т=1
Здесь в правой части все слагаемые неотрицательны и первая сумма
обращается в нуль только для тех векторов г, которые принадлежат
пересечению квадранта т;- > 0 и действительной линейной оболочки
множества, образованного целочисленными векторами т, являющимися
решениями уравнения (2.7). Но для этих г по условию (2.6)
( VI \2
( 21 4тп) О-
Ч, ш=1 '
Итак, G - формальный определенно-положительный интеграл, и,
следовательно, теорема Брюно доказана.
§ 3. Оценка скорости диффузии Арнольда. ^
Результаты Нехорошева
В § 1 построены простые примеры многомерных гамильтоновых систем, которые
устойчивы для большинства начальных условий, но по Ляпунову
неустойчивы. Скорость диффузии Арноль-
да в примерах § 1 оказалась весьма значительной. Однако, как правило,
диффузия Арнольда (если она существует) должна быть экспоненциальной, что
показано Нехорошевым в его работах [78-8°].
Нехорошев изучал системы с аналитической функцией Гамильтона вида
Н = Н0 (I) + еН, (I, Ф), (3.1)
§ 31 ОЦЕНКА СКОРОСТИ ДИФФУЗИИ 95
где 0 < е<< 1, 1т = (/15. . /"), фт = (фъ. . фп). Функция Н1
2я-периодична по угловым переменным фг. Нехорошевым доказана
экспоненциальная оценка сверху скорости диффузии Арнольда при условии,
что Н0 - крутая функция. Определение крутых функций дано в [81].
Непосредственная проверка условий крутизны сложна, поэтому мы не приводим
здесь этого определения. Некоторые важные достаточные условия крутизны,
полученные Нехорошевым, приведены ниже.
Примерами крутых функций являются функции следующего вида.
Определение [80]. Функцию Н0, определенную в области G евклидова
пространства Еп, назовем квазивьтуклой, если для каждой точки Г из G
выполнены условия:
а) grad Н0 |г ф 0;
б) сужение квадратичной компоненты V1 Э2#о(Г)
XiXj
.и
г, 3=1
разложения функции Но в этой точке на гиперплоскость
V1 дН0(I') "
г -1
о,
функция Н0 будет крутой, то существуют константы а 0, Ь ф 0 такие, что
для каждого решения 1(f), ф (t)
касательную к поверхности уровня функции, знакоопределенно; здесь xi = It
- Ij.
Для функций Но от двух переменных достаточным условием крутизны является
отличие от нуля определителя в формуле (1.4) на стр. 88.
Пусть || 11| = 1/ It Нехорошев показал, что если в (3.1)
У i=l
ТО с
шеЕ
II I (t) - I (0) II < е6 ПРИ всех t ?Е [0, Т], (3.2)
где
Т = ехр [(1/е)°]. (3.3)
Для констант а и & получены такие значения:
2 2
а = Щ + 3/1 + 14 ' Ь = а (12? + 3/1 + 14) '
где С и а зависят только от Н0 и удовлетворяют неравенствам
иПо)>-п{н~Х)- (3.5)
96 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
(причем для квазивыпуклых функций, и только для них, равенство
достигается) и
а (Но) > 1 (3.6)
(причем для квазивыпуклых функций равенство достигается).
Требование крутизны функции Н0 существенно. В примерах,
рассмотренных в § 1, функции Н0 = Н - ГГ(1) (см. (1.7) и
(1.9))
не являются крутыми.
Приведем два достаточных условия крутизны для функций от трех переменных
[80]. Функция Н0 (I) будет крутой в некоторой области, если
1) для всех точек этой области определитель (1.4) отрицателен;
2) для каждой точки I* этой области этот определитель больше нуля и
система
У-"Ьр.*( = 0, (3.7)
1=1
3
?
^glXlXl = 0, (3.8)
i, j=l ' 1
t (3'9)
не имеет решений, кроме тривиального хг = х2 - х3 = 0. Здесь
Xi = 11 1 i .
Функция Н0 "общего положения" удовлетворяет одному из приведенных
достаточных условий крутизны. Отметим, что выполнение условия 1) означает
