Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
нормальной формы функции Гамильтона.
Основные преимущества предлагаемого способа нормализа ции функции
Гамильтона перед классическим способом Биркгофа, по-видимому, следующие:
1) Отпадает необходимость находить периодические решения систем
дифференциальных уравнений, определяющих производящую функцию
преобразования Биркгофа. Это приводит, в частности, к значительному
уменьшению необходимых вычислений.
2) Исследование неавтономной нелинейной системы дифференциальных
уравнений сводится к исследованию алгебраических свойств производящей
функции отображения.
§ 6. Об устойчивости неподвижных точек отображения
в случае резонанса
В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвижных точек
точечного отображения, задаваемого гамильтоновыми дифференциальными
уравнениями. Будут рассмотрены случаи, когда величины Kt связаны
резонансными соотношениями третьего и четвертого порядков. Будут доказаны
два утверждения о неустойчивости. Их доказательство основано на
приведении точечного отображения в окрестности неподвижной точки (которую
считаем совпадающей с началом координат) к нормальной форме с последующим
применением теоремы § 2 о неустойчивости неподвижной точки отображения.
По аналогичной схеме исследована устойчивость положений равновесия
гамильтоновой системы с одной и двумя степенями свободы в работах автора
[53, 55, 60] и автономной гамильтоновой системы с произвольным числом
степеней свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости, полу-
118
ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ
[ГЛ. 6
ченные ниже, применимы как к случаю автономной, так и к случаю
неавтономной гамильтоновой системы и содержат в себе, как частные выводы,
утверждения упомянутых работ [53, 55, 60, 92] о неустойчивости.
Рассмотрим сначала резонанс третьего порядка. Пусть в производящей
функции (4.1) величины Яг таковы, что для целых неотрицательных чисел ки
сумма которых равна трем, число КК -[-+ к2К -[-••.+ КК будет целым,
равным N. При этом считаем, что других резонансных соотношений третьего
порядка нет. Предположим также, что уже проведена нормализация
производящей функции до членов третьего порядка. Тогда, согласно § 4,
производящую функцию отображения Т можно записать в виде
S - Ч (фх - 2лЮ -}-. . .-[-Гп(фп- 2яА,п)
+ a sin [(k, <р) -j- Ъ] г°" + О (г2). (6.1)
В (49) г°" = . . . гпп\ 2а t = ки аг + а2 + . . . + ап =
= 3/2; О (г2) - величина порядка r\ -f- г\ + . . . -f. rl., а и Ъ -
некоторые числа, причем ясно, что можно считать а 0; (k, ф) =
- &1Ф1 + &2Ф2 + ¦ • • + &пфп-
Теорема. Если а Ф 0, то неподвижная точка гх = га = . . . = = гп = 0
неустойчива.
Для доказательства выпишем сначала точечное отображение в явном виде. Из
(6.1) получаем
П = Л + акр о(r) cos [(к, ср°) -f Ъ\ + О (г"2),
г°"
фг = фг + 2лК - аа{ -т- sin [(к, ф") + Ъ] + О (/•").
Ч
Прежде чем приводить строгое доказательство, проведем анализ
приближенного отображения, оставив в (6.2) только главные члены по г(r).
Такое укороченное отображение имеет, как легко проверить, инвариантные
множества
Jj =s kiTj - kfi = const (/ = 2, 3, . . ., га). (6.3)
Если точка М лежит на поверхности (6.3), то и ТтМ тоже будет лежать на
этой поверхности для всех т. Возьмем начальную точку М такой, чтобы она
принадлежала пересечению поверхностей
кгГ] - kjrx = 0. (6.4)
Тогда для укороченного отображения получим
Ч = г1 + akJPktKf* cos [(к, ф<>) + b], ^ ^
(к, <р)]= (к, ф°) + 2nN - а/Pkl^b-f1*sin [(к, ф°) + Ъ].
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
119
Здесь = к^'к^. . . Отметим, что мы считаем кг Ф 0, т. е. 4то величина %1
входит в резонансное соотношение. Это, разумеется, не ограничивает
общности рассмотрения.
Из (6.5) видно, что если (к, ф°) + Ъ = 0, то после т-кратного применения
отображения Т ползшим
(к, <р) = (к, q>°) + 2лmN, а величина гг неограниченно возрастает.
После этого предварительного анализа уже .несложно провести строгое
доказательство теоремы. Для доказательства неустойчивости построим
функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы § 2 о неустойчивости. И будем
ее строить так, чтобы область
V 0 была узкой областью, содержащей внутри себя пересечение поверхностей
(6.4). Именно такая идея построения функции Четаева V была использована в
работах автора [53, 55, 60], а затем Хазиным в работе [92].
Функцию V возьмем в виде
П
v = ri П (г? - -/¦*) cos [(к, ф) + &]- (6.6)
3=2
За область V '^> 0 берем область
{--?*<(к.<P) + P<-f-> Ч = 4гГ1 + ТЬГ?/*" hiK1}-
Получим теперь разность V (гг, фг) - V (г(r), ф"). Для этого надо
V (rit ф;) выразить через г(r), ф(r) согласно формулам отображения
(6.2), причем для упрощения выкладок это следует делать сразу для области
V 0.
В области V 0 отображение (6.2) дает соотношения (6.5). Только в первом
из этих равенств надо добавить величину порядка г0', а во втором -
порядка г°. Поэтому в области F^>0 получаем такие оценки:
П (г? - J-J) -П(1-ч5(ГГ''[1+"(31.-3)4Г1',№:,Д]+0(гГ')),
3=2 j=2
cos [(к, ф) + Ъ] = cos Ф -[- a/Pki^rf12 sin2 Ф f О {/[).
