Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
несовместность (при ж(r) + + х% Ф
0) системы (3.7) и (3.8) и, значит, при условии 1) функция Н0
квазивыпукла.
Пусть изучается движение в системе с 2я-периодической по t, аналитической
функцией Гамильтона
Н = Но (1\, Гг) + (lit Izi Ф11 фг> t). (3.10)
Введением "импульса" /3 и "угловой переменной" ф3 = t задача сводится к
автономной системе с тремя степенями свободы, и несовместность (при х\ +
х\ Ф 0) системы двух уравнений
РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
97
будет достаточным условием крутизны функции Н0(11, /2) -f- /3 и, значит,
условием, достаточным для применимости оценок (3.2)-(3.6).
§ 4. Неавтономная система с двумя степенями свободы.
Случай резонанса третьего порядка
Рассмотрим задачу об устойчивости положений равновесия неавтономной
гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Будем считать, что
соответствующая функция Гамильтона 2я-периодична по времени и аналитична
относительно координат и импульсов. Кроме того, предположим, что
линеаризованная система устойчива и все ее мультипликаторы различны. В
этом случае функция Гамильтона в подходящим образом выбранных переменных
qh pt (см главу 2) имеет вид
Н (Qv Pi' 0 = ~2~ ^ Pi) ~2~ ^ Р*)
ОО
+ ^v,v,n,(X, (0 QlQzPl'P^1- (4.1)
Vl+V*+Hi+H2=3
Здесь ± ikj (/ = 1,2) - характеристические показатели линеаризованной
системы, Vy, р,у - целые неотрицательные числа, Avivjjiii*! (t -j- 2я) =
hVlvjh,h, (f).
Если величина k1kl + к2к2 не будет целым числом для любых целых
неотрицательных чисел кг и к2, то, согласно Мозеру (см. главу 2),
система, имеющая функцию Гамильтона (4.1), формально устойчива. С другой
стороны, если величина кл%г + не будет целым числом для целых чисел кг и
к2, удовлетворяющих равенствам | кх | + | к2 [ = 3 и | &1 | + | А* | = 4
(т. е. в системе отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядков),
то при помощи преобразования Биркгофа q}, р} -a- q]p] функцию Гамильтона
(4.1) можно привести к виду
Н = I + к2Г2 + С20Г1 + СПГХГ2 + Сй2Г2 -f- О ((г1 -f- ггуь)
(4.2)
(2ry = q'j -f- pf, Си = const).
Согласно теореме Брюно (см. § 2), при выполнении неравенства
С20&1 + cii^i^2 + с02к% Ф 0 для целых неотрицательных чисел,
удовлетворяющих уравнению кх%г + к2%2 = т (т - целое число), имеет место
формальная устойчивость. Как следствие, отсюда получаем, что система с
функцией Гамильтона (4.1) формально устойчива, если квадратичная форма
c20r* -f ситу2 + с02?2
4 А. П. Маркеев
98
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
знакоопределенна при гх > О, г2 0. Последнее утверждение
есть частный случай для п = 2 условия формальной устойчивости,
полученного Глиммом [138]. И, наконец, отметим еще, что если Си - 4с20с02
Ф 0, то имеет место устойчивость для большинства начальных условий (см. §
1).
Рассмотрим, следуя [61], задачу об устойчивости, когда в системе есть
резонансы третьего или четвертого порядков. Будем предполагать, что число
к1%1 + к2%2 является целым для одной пары целых неотрицательных чисел кг
и к2, сумма которых равна трем или четырем. Таким образом, будут
рассмотрены девять резонансных случаев:
(1) = тп, (2) Ъ%2 = тп, (3) А.1 -f- 2!к2 = тп,
(4) 2Xi + К = т, (5) 4Х,х = тп, (6) 4А,2 = т, (4.3)
(7) 2 (Х.х Х2) = тп, (8) Хх -J- ЗЯ2 = тп, ($) 31г -]- = тп.
Так как мультипликаторы предполагаются различными, то целые, полуцелые и
удовлетворяющие равенствам Хх + \2 = т значения X* не рассматриваются.
Это означает, что в системе нет резонансов до второго порядка
включительно и задача об устойчивости нелинейной системы решается для
значений параметров, лежащих внутри области устойчивости линеаризованной
системы.
Исследуем сначала устойчивость в случаях (1) - (4). Введем новые
канонические переменные qJ, pf при помощи преобразования Биркгофа,
задаваемого производящей функцией
S - QiP* + fepf + S"
где
?з= 2 sViVtWM?\?pT'pTz-
V1+V2+Hi+tl,=3
Здесь SvjViHtHs (t "Ь 2я) = SviVjHiHj (t)-
Обозначим новую функцию Гамильтона через Я (<ft , р, , t). Пусть Нк и Я*
- совокупности членов порядка к относительно координат и импульсов
соответственно в старой и новой функциях Гамильтона. Из тождества,
связывающего Я, Я* и S,
"*(^,рИ = л(9"-^,() + тг (4-4>
получаем
Я* = Я2, Я? = Я з + DS3, (4.5)
jLi 2 L \9дф \dpf I J dp* drl, a4j dpJ
§ 41 РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 99
В (4.4) функции имеют своими аргументами величины q3, pf и t, через D
обозначен оператор
Введем обозначение aV(X = %х (цх - vx) + К2 (цг - v2). Если величина аХ]1
не будет целым числом при | цх- vx| -f- | р2 -v2 | =3 (т. е. отсутствуют
резонансы третьего порядка), то, выбрав соответствующим образом S3, можно
добиться выполнения тождества //* = 0. Для 2я-периодических коэффициентов
получаем после несложных выкладок такие выражения:
50з00 - и0003 ~Ь U0l02i s0102 = м0102 - 3m0003i s020l = ^0102 Н~
Зп00031
s0003 = у0Ю2 - ^00031 •'>3000 = УООЗО "Ь ^10207 s1020 =
^1020 - ЗМоОзО?
%>10 = ^1020 + Зг0030> S0030 = ^1020 - ^0030! Sj.002 = М0111 -
- Mooi2 - W0210j s1200 = Щ)012 + и02Ю ~Ь Mom, s0210 = У0Ц1 "Ь ^0012 Н~
