Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть функция Гамильтона имеет вид Н = сел - со2г2 + (сохгх - ш2г2) (arx
+ Ъг2) +
+ (гГгГ)к/2 Sin к (нф! + Шф2), (5.1)
где псох - тщ = 0 (т + п !> 5), к, т, п - натуральные, а и Ъ -
произвольные действительные числа.
Легко проверить, что для функции Гамильтона (5.1) условие
(1.4) не выполнено, а система дифференциальных уравнений, соответствующая
(5.1), имеет такое частное решение:
к (иф! +нгф2) = (1 +2А)я (N = 0, ±1, ±2, ...),
и\ гг (°)
ТПГ1 = ПГ 2, Г j. (0 = -------------------- ,
11- (а - 1) pr"-1(0)
mk mk
где а= m п к, $=кт 2 п 2 . Это частное решение показывает,
что положение равновесия гх = г2 = 0 неустойчиво, так как для сколь
угодно малых значений гх (0) и г2 (0) величины rx (t) и r2 (t)
неограниченно возрастают при
- 1) Рг"-1(0) '
Приведенный пример показывает, что исследование устойчивости при с20со2 +
си(о1о>2 -f- с02сох = 0 надо проводить особо.
Если "хСОх + п2(?>2 ф- 0 при целых и ге2, удовлетворяющих условию 0 < |
"х | -]- | п2 | <; 2т, то при помощи аналитического преобразования
Биркгофа гамильтониан (1.2) можно привести к виду
т
н - СО1Г1 - (02га + 2 cif\rl + Н (г1; г2, фх, ф2). (5.2)
"+j=2
86
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
Здесь дг=^2гг8тфг, pt = V2rt cos срь В имеет период 2я по угловым
переменным, 3 = 0 {(г1 ¦+ г2)т +'/2).
Рассмотрим многочлен
т
(5.3)
i+j=2
Если h (е) ф 0, то говорят, что имеет место общий эллиптический случай. В
условиях теоремы Арнольда - Мозера неравенство h (е) ф 0 обнаруживается
по коэффициенту при е2 в многочлене
(5.3). Если же этот коэффициент равен нулю, т. е. условие (1.4) не
выполняется, то в многочлене (5.3) надо получать коэффициенты при более
высоких степенях е. При этом на (ох и со2 надо накладывать более жесткие
требования отсутствия резонанса, нежели требование (1.3).
Пусть первый, отличный от нуля, коэффициент многочлена
(5.3) обнаруживается при ет. Тогда справедлива следующая теорема [56].
Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что
1) характеристическое уравнение системы с гамильтонианом Нг имеет чисто
мнимые корни ± icoi, ±?(0г;
2) + п2а>2 Ф 0 при 0 < | % | + | п% [ 2т; (5.4)
то положение равновесия устойчиво.
Сформулированная теорема является простым обобщением теоремы Арнольда -
Мозера на случай, когда исследование в гамильтониане (1.2) форм не выше
четвертого порядка не может привести к строгим выводам об устойчивости
положения равновесия qt = pi = 0 системы (1.1).
Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это
сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при т = 2.
Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57].
Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя
интеграл Н = = const, свести систему (1.1) к системе с одной степенью
свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к
отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой
дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при
выполнении условия (5.5) на каждом уровне Н = const в любой достаточно
малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы
(1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия.
т
3) 23 Cm-г, * ф- О,
(5.5)
ГЛАВА 5
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОМЕРНЫХ
ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Устойчивость многомерных гамильтоновых систем
для большинства начальных условий.
Результаты Арнольда
В этой главе будут рассмотрены некоторые задачи устойчивости движения в
многомерных гамильтоновых системах. Под многомерной системой понимается
динамическая система, число степеней которой больше двух или оно равно
двум, но функция Гамильтона явно содержит время. Задача об устойчивости
движения в таких системах полностью не решена до сих пор. Но прогресс в
этой области весьма значителен, благодаря исследованиям Арнольда, Мозера,
Брюно, Нехорошева и других авторов. Кратко рассмотрим полученные к
настоящему времени результаты.
Остановимся сначала на результатах Арнольда по устойчивости гамильтоновых
систем для большинства начальных условий [4, 102]. Пусть автономная
гамильтонова система с п степенями свободы устойчива в линейном
приближении и между ее частотами отсутствуют резонансные соотношения до
четвертого порядка включительно. Тогда при помощи преобразования Биркгофа
можно выбрать такую систему координат, что гамильтониан запишется в виде
Я = Я<°> (г) + ф), (1.1)
где г и <р - re-мерные векторы:
rT = fo,. . фт = (ф1?. . .,ф"),
П
Н(0) (г) = Vi + • ¦ • + Кгп + S а-цГгГ] (ац = ан), (1.2)
i, j=1
функция 7/(1) имеет порядок, не меньший пятого относительно qi = rt sin
фг, pi = }/~2гг cos ф;, и 2я-периодична по фг.
Если при гг = г2 = . . .= гп = 0 выполнено одно из условий
(1.3) или (1.4):
_ , II аги(о) II
°(tm)=det аГаТ- ^°' (1-3)
(I ^ ^ II
88
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
(1.4)
то положение равновесия qt = pt - 0 устойчиво для большинства (в смысле
меры Лебега) начальных условий.
В случае двух степеней свободы при выполнении неравенства
