Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 32.3 В атмосфере находятся частицы пыли, имеющие массу т=8-10~22 кг и объем у=5*10~22 м3. Найти уменьшение их концентрации на высотах Zi1= =3 м и Zi2=30 м. Воздух находится при нормальных условиях.
Решение. Физическая система состоит из частиц пыли и воздуха, находящихся в поле тяготения Земли. Следовательно, и частицы пыли и молекулы воздуха подчиняются распределению Больцмана (32.3). Но если для молекул воздуха это распределение можно использовать непосредственно, то применение его к частицам пыли может привести к ошибочному результату. Дело в том, что на частицы пыли кроме силы тяжести mg действует выталкивающая сила Архимеда FA (частицы пыли находятся в воздухе). Легко убедиться простым расчетом, что сила Архимеда FA по порядку величины сравнима с силой тяжести mg. Действительно, плотность пылинки pn=m/V, т. е. рп = =8« 10~22/5-10~22a;1,6 кг/м3, что мало отличается от плотности воздуха рв «1,3 кг/м3. Следовательно, и сила Архимеда мало отличается от силы тяжести. Поэтому найдем сначала эффективную массу частиц пыли: m9$g=mg—FA или т9ъё~тё—Pb Ve* гДе Pb — плотность воздуха. Плотность воздуха определим из уравнения Менделеева — Клапейрона:
pK=pM/(RT).
Таким образом,
рMV
217
Использовав распределение Больцмана (32.3), найдем изменение концентрации частиц пыли с высотой
ma.gh ( pMV\ .
P»-= е kT =е--kf-
Числовой расчет для fti=3 м и /і8=30 м дает ?!=0,29, ?8=3-10~e. Таким образом, если на высоте H1= 3 м (уровень 1-го этажа здания) концентрация частиц пыли все еще составляет примерно V8 концентрации пыли на поверхности Земли, то на высоте /іа=30 м (уровень 10-го этажа здания) пыли практически нет. Этот вывод справедлив, если отсутствуют восходящие потоки воздуха.
Раздел III
Решение нестандартных, неп оставленных
н произвольных задач
глава 12
нестандартные и оригинальные задачи
§ 33. Нестандартные задачи
Выше уже отмечалось, что для решения нестандартных задач одних конкретных и обобщенных знаний уже недостаточно. Применяя их, мы, как правило, получаем незамкнутую систему уравнений. Затем приходится искать весьма неопределенное «нечто», учет которого позволит замкнуть систему уравнений. Неуловимые и неопределенные «нечто» в нестандартных задачах столь разнообразны, что делают попытку классификации таких задач почти безнадежной. В приводимых ниже примерах (весьма малочисленных) указаны некоторые характерные «нечто» и способы их нахождения.
Пример 33.1 На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f лежит тело массой т. В момент времени /=0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся по закону F=a/, где а — постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия этой силы.
Решение. Проводим обычный анализ, применяя метод анализа физической ситуации задачи. В физическую систему включаем только одно тело массой т. Его можно считать материальной точкой. Тело движется под действием некоторых сил, одна из которых зависит от времени. Необходимо определить один из параметров этого движения —
219
путь, пройденный телом. Это основная задача динамики материальной точки.
Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с плоскостью, ось OX выберем в направлении вектора а. В процессе движения на тело действуют четыре силы: данная сила F=&t=\at, где і — единичный вектор, сила трения Frp=—fmg\, реакция опоры N и сила тяжести mg. Последние две силы компенсируют друг друга. По второму закону Ньютона,
dv ,. , m-rr = ati — fmg\,
или в проекциях на ось OX mirr — at — ftng.
Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия, находим закон изменения скорости:
at2 і ,
и далее (после интегрирования уравнения = Ux)—закон движения:
<зз-1)
Последнее выражение дает искомый ответ задачи. Но, оказывается, приведенное решение неверно. Формально проведен физический анализ: не учтена сила трения покоя вообще и в особенности тот факт, что эта сила, как и данная сила F=a?, изменяется (растет) во времени. Движение тела начнется только в момент времени t0=fmg/a, когда сила трения покоя достигнет своего максимального значения. До этого момента времени тело находится в покое. Подставляя в формулу (33.1) вместо t разность t—t0, получим верное решение:
r_a V-J0)* fg(t-h? л 6т 2 •
где t^t0.
Таким образом, в данной нестандартной задаче «нечто», заключалось в тщательном учете силы трения покоя и в| том, что эта сила является переменной (она растет от нулщ
220
до своего максимального значения fmg при возрастании действующей силы F=at).
Очень часто в нестандартных задачах используют так называемое условие отрыва (при прекращении взаимодействия тел упругая сила реакции опоры обращается в нуль:
Пример 33.2 На небольшое тело массой т, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент времени t=0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F—at, где а — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол а с горизонтом. Определить момент времени, в который тело оторвется от плоскости, а также скорость тела в любой момент времени до и после отрыва.
