Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Так как возникающие про- 30.4
цессы необратимы, то применять непосредственно формулу (30.4) для нахождения изменения энтропии системы III нельзя. Необходимо найти такие процессы, в результате которых системы I и II из начального в то же конечное состояние перешли бы обратимым образом. Для этого необходимо нарушить первоначальную адиабатную изолированность систем I и II. Поставим вместо нетеплопроводящей идеально проводящую теплоту невесомую перегородку. Теперь системы I и II имеют тепловой контакт (они адиабатно не изолированы). В каждой системе происходит обратимый изохорный процесс (в левой — охлаждения, в правой — нагревания до температуры смеси O). Нетрудно найти конечную равновесную температуру:
O=(T1+^.
Теперь можно убрать и эту (теплопроводящую) перегородку. Так как обе подсистемы I и 11 находятся в термодина-
205
мическом равновесии при температуре 9, то и общая система III находится в равновесном состоянии. Заметим, что если изохорные процессы в системах I и II можно считать обратимыми, то процесс теплопередачи в системе III нельзя считать обратимым. Обозначим AS1 и AS2 изменения энтропии систем I и II. Тогда изменение энтропии системы III
AS=ASH-AS2. Для системы I (по формуле (30.8))
Для системы II
AS, = j ^ = Cl.ln^ = CKlni(l+A).
Легко видеть, что ASr<0, a AS2X), т. е. энтропия системы I убывает, а энтропия системы II возрастает (вспомним, что эти системы, после того как была поставлена тепло-проводящая перегородка, перестали быть адиабатно изолированными и энтропия каждой из них может и возрастать, и убывать). Общая система III остается адиабатно изолированной, и энтропия в ней в результате необратимого процесса должна возрастать. Действительно, )ASi|<|AS2| и
AS = AS1H- AS8 = Cv [in 1 (1+ +
Так как Cv=iR/2, то AS~3 Дж/(моль-К). Таким образом, если количество теплоты Q1, переданной системой I, равно количеству теплоты Q2, полученной системой II (IQiI=IQ2!)» то изменение энтропии AS1 систем I по модулю не равно изменению энтропии AS2 системы II в этом же процессе теплопередачи IASiHIAS2I).
ГЛАВА 11
МОЛЕКУЛ ЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
§ 31. Распределение Максвелла — Больцмана
В статистическом методе в отличие от термодинамического существенным является предположение о «зернистой» структуре"макротел. В этом методе используют следующие (подтверждаемые многочисленными опытами) положения: все макротела состоят из микрообъектов; микрообъекты участвуют в хаотическом движении; микрообъекты взаимодействуют между собой. В классической статистической физике предполагают, что два одинаковых микрообъекта не тождественны. Поведение одной микрочастицы (материальной точки) рассматривают в шестимерном фазовом пространстве (|х-пространстве) координат (я, у, г) и проекций вектора импульса (рх, ру, pz) или вектора скорости (vx, vy, vz). Ее состояние определяется точкой в этом пространстве. Если микрочастица движется хаотически, то ее нахождение в элементе объема dx=dxdydzdpxdpydpz этого пространства является случайным событием, вероятность которого
dw=f(x, у, г, рх, ру, pz)dx, (31.1)
где / — функция распределения (плотность вероятности). Функция / удовлетворяет условию нормировки
$Мт=1. (31.2)
В (31.2) интегрирование производится по всему фазовому пространству. С помощью функции / можно определить среднее значение некоторой функции у(х, у, г, рх, ру, pz):
«p> = $/q>dT. (31.3)
Распределение Максвелла — Больцмана молекул в Ji-пространстве имеет вид
do; (jf, у, г, рх, ру, рг) =
_ е"и<х- '¦"Il<"» oxAy Az Apx Ар, dA> (31.4)
где U (х, у, г) — потенциальная энергия молекулы.
Распределение Максвелла — Больцмана можно рассматривать как два независимых распределения в трехмерном
207
пространстве импульсов (распределение Максвелла)
dw(рх, P1. P1) - ^-«+•J+*/«-'» Apx йр, йр, (31.5)
и в трехмерном пространстве координат (распределение Больцмана)
dw(x, у, z) = Be-u^y''^kT^dxdydz, (31.6)
где А и В — постоянные, определяемые из условия нормировки (31.2). Учитывая условие нормировки (31.2), получаем распределение Максвелла:
dw(px, ру, рг) = (2л/7іАГ)*/ае-^+^+р^(2т*Г)х xdpxdpydpz. (31.7)
Из распределения Максвелла (31.7) можно получить: распределение по компонентам скоростей (vх, vy, vz)
m(vl + t>l+vl)
dw(vx, vy, V2) = )•'' e 5йг dvx dvy dv, (31.8)
распределение по модулю скорости V
day(V) = 4лf j Ve"**7" do> (319)
распределение по кинетической энергии ?и
ао»(?к)=2я ^-j^y^f^e'*7 d?K (31.10)
и другие распределения.
В состоянии термодинамического равновесия макросостояние системы, состоящей из N частиц, характеризуется сравнительно небольшим числом макропараметров (физических величин, которые можно определить путем измерения из эксперимента), имеющих определенное, не зависящее от времени значение. Вследствие хаотического движения частиц их положения и скорости непрерывно изменяются. Следовательно, изменяются микросостояния системы, в то время как макропараметры остаются постоянными. Таким образом, одному и тому же макросостоянию соответствует множество микросостояний. Поэтому любые макроскопические величины зависят от микроскопических параметров. В статистической физике принимается, что наблюдаемые экспериментально физические величины (макропара-