Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
следует из того, что изменение фазы А(^/27г определяет число нулевых
значений поля между двумя пространственно-временными точками, которое не
может зависеть от выбранной системы отсчета. Но поскольку (ct, г)
образуют четырехмерный радиус-вектор, то частота со и волновой вектор к
плоской волны также образуют волновой 4-вектор
fci=(^,fe), (3.24)
а фазу можно записать как скалярное произведение двух 4-векторов:
ср = -кгх\ (3.25)
Задачи
3.1*. Вывести преобразования Лоренца (3.7) на основе постулатов СТО (1)-
(4) и доказанной выше (см. формулу (3.6)) инвариантности интервала.
3.2. Пусть система S' движется относительно системы S со скоростью V
вдоль оси х. Часы, покоящиеся в S' в точке (жд, у$, z'0), в момент t'0
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
225
проходят мимо точки (жо, у о, zo) в системе 5, где находятся часы,
показывающие в этот момент время to. Написать формулы преобразования
Лоренца для этого случая.
3.3. Система S' движется относительно системы S со скоростью V.
Доказать, что при сравнении хода часов в системах S и S' всегда будут
отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых
последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой системе
отсчета. Выразить один промежуток времени через другой. (Показания
движущихся часов сравниваются в момент, когда они проходят друг мимо
друга.)
3.4. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе
отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени, в
течение которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой системы,
и умножать его на скорость стержня. Показать, что при таком методе
измерения получается обычное лоренцево сокращение.
3.5. Система S' движется относительно системы S со скоростью V. В
момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих
систем показывали одно и то же время t = t' = 0. Какие координаты в
каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая
тем свойством, что находящиеся в ней часы систем S и S' показывают одно и
то же время t = t'l Определить закон движения этой точки.
3.6. Пусть для измерения времени используется периодический процесс
отражения светового "зайчика" попеременно от двух зеркал, укрепленных на
концах стержня длиной I. Один период - это время движения "зайчика" от
одного зеркала до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе
S' и ориентированы параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом
о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени
dr выражается через промежуток времени dt в системе S формулой (3.11).
3.7. Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часы
ориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости.
3.8. "Поезд" А'В', длина которого /о = 8,64 • 108 км в системе, где он
покоится, идет со скоростью V = 240 000 км/сек мимо "платформы", имеющей
такую же длину в своей системе покоя. В голове В' и хвосте А' "поезда"
имеются одинаковые часы, синхронизированные между собой. Такие же часы
установлены в начале А ив конце В "платформы". В тот момент, когда голова
"поезда" поравнялась с началом "платформы", совпадающие часы показывали
12 час 00 мин. Ответить на следующие вопросы:
а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета
все часы также показывают 12 час 00 мин; б) сколько показывают каждые из
226
Глава 3
часов в момент, когда хвост "поезда" поравнялся с началом "платформы"; в)
сколько показывают часы в момент, когда голова "поезда" поравнялась с
концом "платформы"?
3.9. Какой промежуток времени At занял бы по земным часам полет ракеты
до звездной системы Проксима-Центавра и обратно (расстояние до нее 4
световых года5), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью v =
д/0,9999с? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы
запасаться продовольствием и снаряжением? Каков запас кинетической
энергии в такой ракете, если ее масса Ют?
3.10. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя Iq, равномерно
движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х. Наблюдатель,
связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых
концов масштабов прошло время At. Какова относительная скорость v
масштабов? В каком порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных
с каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба
масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны?
3.11. Вывести формулы лоренцева преобразования от системы S' к системе S
для радиуса-вектора г и времени t, не предполагая, что скорость V системы
S' относительно S параллельна оси х. Результат представить в векторной
форме.
УКАЗАНИЕ. Разложить г на продольную и поперечную относительно V
компоненты и воспользоваться преобразованиями Лоренца (3.7).
3.12. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора
Ai = (Ао, А), не предполагая, что скорость V системы S' относительно S
