Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
содержит еще постоянную
<?о = тс2, (3.35)
238
Глава 3
которая называется энергией покоя частицы. Эта постоянная, в отличие от
произвольного слагаемого в потенциальной энергии нерелятивистской
системы, наблюдаема и может превращаться частично или полностью в другие
формы энергии. В частности, энергия, получаемая при сгорании химического
или ядерного топлива, черпается из его энергии покоя. Поскольку энергия
(3.33) включает в себя энергию покоя, ее называют полной энергией. Полная
энергия в указанном смысле отличается от суммы кинетической и
потенциальной энергии Е = Т + U в нерелятивистской механике, которую тоже
называют полной энергией. Кинетическая энергия частицы Т отличается от ее
полной энергии на величину энергии покоя:
Т=8- тс2. (3.36)
Из выражений (3.33) получается полезная связь между полной энергией,
импульсом и скоростью:
Sv = с2р. (3.37)
Пример 3.10. Вывести уравнение движения релятивистской частицы путем
варьирования действия (3.29) (где а = -тс), сохраняя на всех этапах
вычислений ковариантную форму записи, т. е. выражая все величины через 4-
векторы и 4-инварианты. После варьирования 4-координат перейти к
интегрированию по инвариантному параметру, в качестве которого удобно
выбрать собственное время т.
Решение. Записав (3.29) в форме
(2)
S = -me J д/dxk dxk,
(i)
получаем
(2) (2) (2)
5(dxkdxk) f dxk
5S = -тс I 4 ^ 7-- = -тс I ^-5dxk = -m / uk d8xk,
J 2 ds J ds J
(i) (i) (i)
так как cdxk/ds = uk - 4-скорость, а операции дифференцирования и ва-
рьирования перестановочны. Интегрируя последнее выражение по частям,
имеем
(2)
3.2. Кинематика релятивистских частиц
239
Поскольку 4-координаты точек 1 и 2 фиксированы, 5хк = 0 в этих точках.
Записывая duk = (duk/dr) dr, получаем
(2)
SS = m j Sxk dr = 0.
(i)
Ввиду произвольности и независимости Sxk отсюда следует уравнение
движения
т^~ = 0. (3.38)
dr
Последнее уравнение означает равенство нулю 4-ускорения у свободной
частицы - совершенно естественный и даже тривиальный результат. Но форма
его записи позволяет дать весьма полезную релятивистскую интерпретацию
энергии и импульсу частицы. Четырехвектор
/ = тик = ( тс . , mv (3.39)
\у/1 -v2/c2 ^l-v2/c2)
называется четырехмерным импульсом частицы. Его пространственная часть
совпадает с трехмерным импульсом (3.33), а временная компонента равна
8/с:
рк = (<?/с, р). (3.40)
Поскольку квадрат 4-вектора - инвариант, то
2 / рг \ 2
-г-.
Пусть в штрихованной системе частица покоится, т. е. р' = 0, 8' = тс2. Из
предыдущего равенства получаем связь между энергией и импульсом:
ркрк = (Jpj - р2 = (тс)2 или 8 = \/ с2р2 + ш2с4. (3.41)
Здесь выбран знак плюс перед корнем, чтобы получить правильный
нерелятивистский предел. Объединение энергии и импульса частицы в единый
4-вектор позволяет легко преобразовывать их в любые ИСО. Преобразование
осуществляется по правилам (3.20).
240
Глава 3
Полученные выше формулы допускают движение частиц с предельной скоростью8
v = с, но лишь в том случае, если их масса т = 0. Это вытекает из
соотношений (3.37) и (3.41), которые дают для таких частиц
§ = ср. (3.42)
Такая же связь между энергией и импульсом будет приближенно справедлива
для любой ультрарелятивистской частицы, имеющей энергию ё тс2. Отношение
ё/тс2 = (1 - v2/с2)-1/2 = 7 называют релятивистским фактором (лоренц-
фактором).
Нулевую массу имеют кванты электромагнитного поля - фотоны (фотоны
высоких энергий называют гамма-квантами), а также, возможно, нейтрино и
некоторые другие гипотетические (пока не обнаруженные экспериментально)
частицы. Энергия и импульс фотонов в вакууме связаны с их частотой со и
волновым вектором к квантовыми формулами (см. главу 6)
g = hu>, p=bf = hk, (3.43)
где ft " 1,05 х 10-34 Дж • с " 1,05 х 10-27 эрг • с - постоянная Планка.
Кинематические задачи. Полезную и разнообразную информацию о процессах
столкновений и распадов частиц можно получить только на основе законов
сохранения энергии и импульса, не задаваясь явным видом взаимодействия
между частицами. Энергия и импульс замкнутой (не обменивающейся с
внешними полями или телами) системы частиц представляют собой интегралы
движения. Связь этого фундаментального факта с симметрией пространства-
времени будет установлена в разделе 4.2.
Общая кинематическая задача может быть сформулирована следующим образом.
Пусть имеется несколько частиц а, 6,... с четырехимпуль-
сами рга, ргЪ1..., находящихся на значительных расстояниях друг
от дру-
га и потому не взаимодействующих. При движении частицы сближаются и между
ними происходит взаимодействие. Характер взаимодействия при решении
кинематических задач не играет роли, требуется лишь, чтобы взаимодействие
выключалось при последующем разлете частиц. Взаимодействие может вызывать
упругие столкновения, при которых сами частицы и их внутренние состояния
остаются неизменными, либо распады и неупругие столкновения, когда могут
изменяться массы частиц, их внутренние состояния, появляться новые
