Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
ный к наблюдателю, и на плоскость, перпендикулярную лучу. При каких
условиях "кажущаяся" скорость оказывается сверхсветовой? Рассмотреть, в
частности, случай, когда релятивистский фактор корабля велик, 7 1,
а угол а мал.
3.49. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской
монохроматической волны в движущейся со скоростью V среде с показателем
преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной диэлектрической среде
v' = с/п). Найти формулы преобразования частоты, фазовой скорости и угла
между волновым вектором и относительной скоростью.
3.50. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V среде в
направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме А. Найти скорость v
волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель
преломления п определяется в системе S', связанной со средой, и зависит
от длины волны А' в этой системе. Вычисления проводить с точностью до
первого порядка по V/с.
Рекомендуемая литература: [Эйнштейн (1905)], [Болотовский (1990)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Мандельштам (1955)], [Меллер (1975)],
[Фок (1955)], [Угаров (1977)], [Бредов и др. (1985)], [Лайтман и др.
(1979)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Дюге (1973)], [Пановский и Филипс
(1963)], [Принцип относительности (1973)], [Болотовский (1985)], [Толмен
(1974)], [Борн (1977)], [Вайскопф (1964)], [Тейлор и Уилер (1971)],
[Толмен (1974)], [Гинзбург (1979)], [Минковский (1959)], [Эйнштейн
(1955)].
3.2. Кинематика релятивистских частиц
Энергия и импульс. . Как известно из нерелятивистской классической
механики, наиболее компактная и простая форма записи законов движения (в
отсутствие макроскопических диссипативных сил) достигается на основе
вариационного принципа и имеет вид
?5 = 0.
(3.26)
Здесь
(3.27)
(1)
- действие рассматриваемой механической системы, L - ее функция
Лагранжа. В состояниях (1) и (2) задаются координаты частиц и моменты
времени. При движении механической системы по физической (истинной)
236
Глава 3
траектории действие принимает стационарное значение, что и выражается в
виде равенства нулю его первой вариации (3.26). Для свободной
нерелятивистской частицы функция Лагранжа совпадает с ее кинетической
энергией, выраженной через скорость:
где v - скорость, т > 0 - положительная постоянная, инертная масса
частицы. Она определяется в нерелятивистской классической механике как
коэффициент пропорциональности между силой F и ускорением v, которое
приобретает частица под действием этой силы:
В релятивистской механике вариационный подход облегчает формулировку
релятивистски инвариантных уравнений, позволяющих описать движение в
любой ИСО. Кроме того, вариационный принцип дает возможность описания
электромагнитного и других классических и квантовых полей. Поэтому мы
положим его в основу изложения релятивистской механики и классической
теории поля.
При определении вида действия для свободной релятивистской частицы
используем два общефизических принципа: а) релятивистскую инвариантность
действия, обеспечивающую одинаковость законов механики во всех ИСО, т. е.
принцип относительности; б) принцип соответствия - при скоростях v <С с
из релятивистского действия должны следовать нерелятивистские формулы
(3.27) и (3.28).
Принцип релятивистской инвариантности в совокупности со свойствами
однородности и изотропии 4-пространства в ИСО позволяет выразить действие
свободной частицы через единственный инвариант - длину мировой линии
частицы между точками 1 и 2 четырехмерного пространства:
Величина и знак инвариантной постоянной а определяются из принципа
соответствия. Пользуясь формулой (3.11), записываем (3.29) в виде
интеграла по времени в лабораторной системе:
2
(3.28)
(3.29)
(1)
(3.30)
(1)
3.2. Кинематика релятивистских частиц
237
Отсюда определяется функция Лагранжа. В нерелятивистском пределе v <С с
имеем
Ь = ас(1-^=-тс2 + ^. (3.31)
Последнее равенство получено при подстановке а = -тс и обеспечивает
эквивалентность двух выражений (3.28) и (3.31) для функции Лагранжа в
нерелятивистском пределе, так как в классической механике энергия системы
определена с точностью до постоянной, а функция Лагранжа - с еще большим
произволом.
Для свободной релятивистской частицы функция Лагранжа согласно (3.30)
имеет вид
L = -тс J1 - (3.32)
Подчеркнем, что входящая во все предыдущие формулы масса т - инвариантная
величина, одинаковая во всех ИСО. В противном случае релятивистская
инвариантность теории нарушится.
Пример 3.9. С помощью функции Лагранжа (3.32) вычислить энергию 8 и
импульс р релятивистской частицы как функции ее скорости.
Решение. Пользуясь формулами
dL о т
р = ^ $=p-v-L'
известными из механики, находим
р= , mv ¦ 8= , тас2 ¦ (3.33)
д/l - V2/С2 д/l - V2/С2
Импульс релятивистской частицы при г? " с превращается в
хорошо
известное выражение р = mv ньютоновской механики. Энергия
же в этом
пределе,
g = mc2 + (3.34)
кроме нерелятивистского слагаемого - кинетической энергии mv2/2 -
