Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
конечное состояния системы, поэтому
^ л _ Vkj dki dQi Vk% dk2 dtt2 Уkj dk3 dttз
^ ~ (2тг)3 (2тг)3 (2тг)3
682
Глава 6
Если в процессе регистрации света параметрической генерации не
фиксируются поляризации рождающихся фотонов, то вероятность необходимо
просуммировать по всем возможным значениям векторов е2 и ез.
Как и процесс двухфотонного испускания, параметрическая генерация может
быть спонтанной, спонтанно-вынужденной и вынужденной - в зависимости от
того, есть ли в облучающем систему свете фотоны рассеянных мод.
В заключение заметим, что аналогично могут быть рассчитаны вероятности и
других трехфотонных процессов, причем не обязательно когерентных.
6.69. Рассмотрим спонтанный распад в рамках дипольного резонансного
приближения. Вероятность перехода равна
(л\ а 2тг / лт>| *\ 2 г/ \'1/k2dkdfl
(!) /г = Т v\V\lt (2тт)3
Здесь |г) = Ф|vac); V = -d2i(t) ¦ ^(+)(t)|2)(l| +h.c. = V^+\t) + конечное
состояние |/) = |l)a|l)b|s), где \s) - состояние поля с одним фотоном в
моде s. Мы предполагаем, что расстояние между атомами много меньше
характерной длины волны излучения, так что можно опустить
пространственный аргумент у волновых функций и оператора поля.
Вычисление матричного элемента полностью аналогично случаю одного атома.
В итоге для вероятности излучения одного фотона в единицу времени,
просуммированной по всем возможным его поляризациям, частотам и
направлениям вылета, получим
(2)
orh
- для начального состояния Фх и W = 0 - для состояния ^2-
Таким образом, система в первом состоянии излучает в два раза быстрее,
чем для одного атома, а во втором не излучает вовсе, хотя суммарное
начальное возбуждение систем в обоих случаях одинаково (энергия
начального состояния на /га;21 больше энергии основного состояния
системы).
6.70. Суммируя обе части уравнения, приведенного в условии задачи, по
всем осцилляторам, находим для коллективной переменной R(t) =
N
= ra(t) уравнение <2 = 1
R -Ь 2j3R -Ь luqR - 0, t 0, (3 - N^y.
6.4. Ответы и решения
683
Решение, удовлетворяющее начальному условию i?(0) = Nr о, имеет вид R(t)
= Nro0(?)e-/3t cos Ш, Q = \Л^о - N2j2, 0 - ступенчатая функция. Спектр
излучения записываем с помощью результата задачи 5.122:
dljjj _ InP_________1_______
duo 27г (lo-Q)2 + /32/4
Полная интенсивность излучения In = N2I0 в N2 раз больше интенсивности /о
излучения отдельного осциллятора и в N раз больше интенсивности N
независимых осцилляторов. Постоянная затухания тоже в N раз больше
постоянной затухания отдельного независимого осциллятора.
Рассмотренные эффекты являются классическим аналогом эффекта
сверхизлучения Дике. Более подробное изложение см. в [Андреев и др.
(1988)], [Мандель и Вольф (2000)].
6.71. Лагранжиан представляет собой обобщение выражения (4.100):
(1) 2 = Щ (V Щ; - + f (Ф+са • УФ - (УФ1) • саФ)+
+ Ф^[ей • А - /Зтс2 - С/]Ф.
Плотность гамильтоновой функции строится по формуле (4.97) и для дира-
ковского поля имеет вид
(2) Ж = ^(Ф^сй • рФ - (рФ^) • сйФ) + Ф^ [-ей • А + (Зтс2 + С/] Ф.
Квантовомеханический оператор Гамильтона можно получить из (2), если
полную энергию поля ё путем интегрирования по частям представить в форме
(3) S = J Ж d3r = j &ЖШ3г.
Из (2) и (3) получим (6.116):
(4) Ж = ей • (р - | А) + (Зтс2 + еср(г).
6.72. Вычислив оператор v = г по формуле (Д3.34) с дираковским
гамильтонианом (6.111), получим v = са.. Находя собственные значения
684
Глава 6
оператора гГх = сах (матрицы), будем иметь vx = ±с. Те же самые
собственные значения получатся для любой другой пространственной оси.
Появление предельной скорости с можно понять как результат определения
координаты в близкие моменты времени с высокой точностью. В силу
соотношения неопределенностей при этом возникает большая неопределенность
импульса Арх тс, которая и приводит к предельной скорости частицы с.
где го - классический радиус электрона, 0, ф - углы вектора к в
декартовой системе, ось Oz которой направлена вдоль fco, а ось Ох - вдоль
во.
3. d<7\\ = Гд (1 - sin2 в cos2 ф) бЮ, da±_ =0, da = (1 + cos2 в)
dQ.
Последнее сечение совпадает с сечением Томсона, полученным при
классическом расчете (см. задачу 5.129).
4. В ультрарелятивистском случае Ни о тс2 при больших углах
рассеяния (hcoо(1 - cos#) тс2) имеем
6.73. со =-----------9--------, А - Ао = 27rAc(l - cos#).
6.77. Sp{BPo&P} = ^(е0 • е)2 + ^(1 - п • п0).
6.78.
2sin2#cos2 ф dQ,
da у = da±_ = jr0
1 r2 mc2d?l 4 0 hcoo(l - cos 0)
При малых углах рассеяния, - cos в) ~ Нсоов2/2 <С me2,
получаем
6.4. Ответы и решения
685
В нерелятивистском случае, х <С 1, имеем сечение Томсона а = ат = =
87ГГ0/З. В ультрарелятивистском случае
2 me2 1 ( 2/kJo
О- = 7ГГ0 -Г---- In ----------
пмо V ШС
С ростом энергии фотона сечение рассеяния убывает. 6.80.
2
da
d(hco)
2 me"
° (hw0)2
UJ0_
w
ио
LOq
me"
hw
me" hw о
hw0
-2
1 + 2hwo/mc
,2 '
me"
hw
me* hw о
6.81. Излучение фотонов электроном под действием пролетающей
ультрарелятивистской частицы можно рассматривать как результат рассеяния
