Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
произвольной фазы д.
6.45. Средние от нормально упорядоченных произведений операторов рождения
и уничтожения можно вычислить с помощью квазивероятности Глаубера-
Сударшана (6.41), которая для равновесного теплового излучения имеет
гауссов вид (6.44):
(1)
??(а) = -L ехр (-- ). 4 ' 7Г п \ п 1
Отсюда заключаем, что и для квадратурных компонент (см. задачи
6.37,6.44), рассматриваемых по отдельности, распределения сохраняют
гауссов вид.
Выразим дисперсию координатной квадратуры через операторы рождения и
уничтожения
(2) (АXI) = ± [(a2 +at2 + 2afa + 1) - "а)2 + (а*)2 + 2(a)<а+"
Дисперсия координатной квадратуры может быть вычислена как усреднение
выражения (2) с помощью квазивероятности (1):
(3)
(АХ2) - J d2aехр (а2 + а* + 2|a|2 + 1)
662
Глава 6
В последнем равенстве использована формула для среднего числа фотонов в
моде в случае теплового излучения, характеризуемого температурой Т.
Дисперсия импульсной квадратурной компоненты (ДХ|) вычисляется
аналогично.
6.46. Покажем, что оператор эволюции поля, обусловленный взаимодействием
с классическим током, совпадает с оператором смещения (сдвига) амплитуды
D(a) (см. формулу (6.36)). Оператор взаимодействия классического тока с
электромагнитным полем имеет вид
(1) V(t) = J jAd3r,
где предполагается, что j = j (г, t) - заданная числовая функция
координат и времени, а А = А{г) - оператор поперечной (квантованной)
компоненты векторного потенциала.
Рассмотрим эволюцию электромагнитного поля из вакуумного состояния для
достаточно малого временного промежутка St. Используя представление
взаимодействия (см. пример 6.10), введем оператор эволюции
(2) S(t + St, t) = ехр ^-^Vi(t)Stj,
где Vi(t) представляет собой оператор (1), записанный в представлении
взаимодействия. В развернутой форме, используя явный вид оператора А(г),
см. формулу (6.13), получим
(3) S(t + St, t) = ехр I St^2 (~^к\ик\^ +Цг\ик\№) Г'
I кх J
где использовано обозначение
1
"ь(') = JЯг,
Соотношение (3) для оператора эволюции может быть представлено в виде
произведения
(4) S(t + 5t,t) = Пехр{^(-"/глмк^)+ "LMfcAW)} =
кх = П"кх^кхШ кх
6.4. Ответы и решения
663
где в правой части введен для каждой моды оператор сдвига ее аргумента на
малую величину.
Учитывая свойство оператора сдвига D(ai) D(a2) = D(a 1 + a2), если
arg(ai) = arg("2), матрица плотности поля в произвольный момент времени
может быть представлена следующим образом:
(5) pit) = П Dkx(vkx(t))p(0) Ц Dkx(vkx(t)),
кх кх
где Vfcx(t) = Jq и^х(т)с1т.Если начальное состояние - вакуумное, р(0) = =
\vac)(vac\, то состояние p(t) оказывается многомодовым когерентным, см.
задачу 6.32.
6.48. Переходы из состояния с I = 1 в состояние с I = 0 разрешены
правилами отбора (6.88) для электрического дипольного излучения, поэтому
соответствующие вероятности можно вычислить с помощью формулы (6.73).
Спиновое состояние электрона при переходе не изменяется. Координатные
волновые функции начального и конечного состояний имеют вид [Ландау и
Лифшиц, Квантовая механика]
Фг = R2l{r)Yimi{d, if), l[)f = R10(r)Y00,
(!) где R10(r) = ^-e~r^, Д21(г) = r e~r'2aB
dg 2V6aB7
- радиальные волновые функции атома водорода, ав = h2/тее2 - боров-
ский радиус,
(2)
r" = -i=, ,>>=Д
cos$, Yi} ±i($, ср) = =Ьл / sintfe^
- угловые функции (сферические функции Лежандра, см. ответ к задаче
1.118). Разложим радиус-вектор по циклическим компонентам (см. задачу
1.17)
+1
г = (~1)йейа;м> = г\1 i"(d,<р),
(3) м=-1
J_
'sqrt2 '
664
Глава 6
Выбрав ось Ох в плоскости, определяемой осью квантования (Oz) и волновым
вектором испущенного фотона, и вычислив дипольный момент перехода (6.72),
будем иметь
Ш dw"P - 216 Ш (тв) |с* с I2
1 j с1Пк з9 2тгНе3 1 тА '
Действительные орты линейной поляризации кванта выберем так, чтобы е\
лежал в плоскости xz и имел проекции cos#, 0, - sin# на декартовы оси;
при этом в2 = еу. В этих обозначениях угловая зависимость излучения будет
описываться функцией Fcr? Ш1 (в) = |е* • еШ112, значения которой
приведены ниже в таблице.
mi +1 0 -1
С7 = 1 i COS2 в sin2 в i COS2 в
о- = 2 1 0 1
2 2
Е сг i(l+COS2 в) sin2 в i(l + cos2<9)
В последней строке таблицы приведено угловое распределение излучения,
просуммированного по поляризациям. Для неполяризованного атома угловая
функция Fa, mi(0) - 2/3 изотропна ввиду отсутствия выделенного
ГГЦ
направления в источнике излучения.
6.49. Интенсивность излучения вычисляется как произведение энергии кванта
Ни = 8i - 8f на суммарную по всем направлениям вероятность перехода в
единицу времени. Из выражения эффективной плотности заряда, приведенного
в условии задачи 5.23, следует, что рассматривается переход из состояния
2р, mi = 0 в основное состояние Is, mi = 0. С помощью результатов
предыдущей задачи получим формулу, в точности совпадающую с ответом
задачи 5.23, который можно записать в другой форме:
Здесь а - постоянная тонкой структуры (6.51).
6.50. Независимо от магнитного квантового числа mi время жизни атома в
