Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(ионизационный потенциал) электрона в основном состоянии атома водорода.
После усреднения по поляризациям кванта и интегрированию по направлениям
вылета электрона получим полное сечение фотоионизации
Пределы применимости результата: /о Ьы тс2.
6.56. По сравнению с предыдущей задачей волновые функции начального и
конечного состояний меняются местами, поэтому квадрат модуля матричного
элемента остается тем же. Вместо усреднения по поляризациям кванта нужно
произвести суммирование по ним, что дает дополнительный множитель 2.
Число конечных состояний dv = У со2 duo dClk/(27гс)3 относится теперь к
фотону. Наконец, вместо плотности потока фотонов нужно использовать
плотность потока рекомбинирующих электронов jo = = у/(2тгН)3. В итоге,
собирая нужные множители, находим полное сечение рекомбинации
В области применимости расчета, /о тс2, оно мало по сравнению
с сечением фотоионизации.
6.58. Для свободного поля представление взаимодействия совпадает с
гейзенберговским представлением, так как взаимодействие с атомными
системами отсутствует. Поэтому искомое представление получится, если в
равенствах (6.13)-(6.15) заменить операторы рождения и уничтожения
фотонов на зависящие от времени (гейзенберговские) операторы согласно
(6.23). В частности,
(5)
d(Jph = 64
(6)
6.4. Ответы и решения
669
6.59. Vi(t) = -di(t) • Ei(t), где
di(t) = ^2(dnmetUJnmt\n)(m\ + dmnetUJmnt\m)(n\),
mn
dmn - прежние не зависящие от времени матричные элементы.
6.60. ФД*) = exp(|3fo)yS(ty, = Щ1)Ф7,
где Vi (t) - оператор взаимодействия в представлении взаимодействия.
6.61. Преобразуем рассматриваемый матричный элемент следующим образом:
N
(1) u>in{l\dz\n) = |(§i - Sn) ^2{l \za\n) =
a=1
= [^,Za] n) = -Щ^{1\%а\п).
a=1 a=1
Здесь N - полное число электронов, Ж - точный гамильтониан атомной
системы. Далее применяем соотношения {l\z\n) = (n\z\l)*, uoin = - uoni и
получаем
(2) ^2ujln\{l\dz\n)\2 =
I
{{n \Pza | l){l\za\n) - {n\za\l){l \pza\n)} =
a=1 I
= ^X>lliWa]H = giV.
a=1
Использована полнота атомных состояний: 10(^1 = 1-
i
6.62. Рассматриваем оператор взаимодействия V = -dE системы с внешним
постоянным электрическим полем как малое возмущение. По теории возмущений
вычисляем с учетом членов первого порядка поправку к волновой функции
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]:
670
Глава 6
Штрих у суммы означает отсутствие члена с п = 0; 8п - невозмущенные
уровни энергии системы частиц. Символ |0) обозначает волновую функцию
основного состояния. С помощью \ф) вычисляем среднее квантовомеханическое
значение дипольного момента системы, оставляя лишь члены не выше первого
порядка по возмущению:
!
(2) (ф\2\ф) = (0|2|0) + gQ]Lgn |("l^|0)(0|d|n) + (0|V"(n|d|0) j .
Первое слагаемое в правой части представляет собой электрический
дипольный момент системы частиц в невозмущенном основном состоянии (если
таковой отличен от нуля)8. Сумма по п, пропорциональная приложенному
полю, представляет собой индуцированный дипольный момент. Выделив
коэффициенты пропорциональности, получим
г
(2) a"v = ^2 g \gQ {(0K|n)(nK|0) + (0|d"|n)(n|dM|0)|.
6.63. Используем представление взаимодействия, в котором волновая функция
объединенной системы атом + поле удовлетворяет уравнению (см. задачу
6.60; индекс I опускаем)
(!) =
где оператор взаимодействия в дипольном приближении имеет вид
(2) V(t) = -d2i(i) • Ei+\r, t)|2)<1| - d12(i) ¦ E(~\r, i)|l><2|.
Оператор дипольного момента зависит от времени, d^it) = d%\ exp(zcj2i^),
где с?21 - не зависящий от времени матричный элемент, со 21 - частота
перехода между состояниями атома. Вид зависящих от времени операторов
напряженности поля в представлении взаимодействия приведен в задаче 6.58.
Для простоты мы ограничились резонансным приближением (6.105) (его еще
называют приближением вращающейся волны), оставив в первом слагаемом
(6.63) только положительно-частотную часть оператора электромагнитного
поля, ответственную за поглощение фотонов.
8Для этого необходимо, чтобы основное состояние не имело определенной
четности.
6.4. Ответы и решения
671
Волновая функция начального состояния системы, соответствующая
невзаимодействующим атому и полю, может быть представлена в виде
произведения фо = 11)|{7VS}), где для определенности мы рассматриваем
случай, когда исходное состояние атома было основным, а поле находилось в
одном из фоковских состояний.
В первом порядке теории возмущений волновая функция в момент времени t
равна
Вероятность W(t) найти атомную систему к моменту времени t в возбужденном
состоянии |2) равна квадрату модуля \(2\'ip(t))\2, просуммирова-ному по
всем возможным конечным состояниям |/) поля:
Используя условие полноты полевых состояний \ f)(f\ - 1? будем иметь
Для получения окончательного результата нужно еще усреднить найденную
вероятность по начальным состояниям поля с заданной в условии задачи
матрицей плотности. Введем корреляционную функцию напряженностей поля,
взятых в разные моменты времени:
(6) <Sa0 = Sp (pE{p \г, т2)Ё^г)(г, Ti)) =
