Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
ss= /(- - - - - -^-\бд\г, t)d3xdt = 0. (Д2.17)
J { dql dt dq\t dxa dq\a J
Поскольку как область интегрирования, так и вариации Sqz произвольны, то
из (Д2.1Т) получаются следующие уравнения движения непрерывной среды в
лагранжевой форме9:
dS? _ _^д^_ _ d dS? п (П9
dqi dtdq\t dxadq\a ' W j
где i принимает весь набор возможных значений (суммирование по а!).
9В уравнениях (Д2.15)-(Д2.18) мы пишем, как это принято, прямые
производные d/dt и d/dxa- Это означает, что в лагранжиане ?? должна
учитываться как явная зависимость от ха и t, так и зависимость от этих
переменных через посредство дг и их производных. Но и t для непрерывной
системы, в отличие от механики материальной точки, всегда независимые
переменные, поэтому, например,
i = дд(ха, t) dt^ dt
698
Дополнение 2
Рассмотрим два примера вывода конкретных уравнений эволюции волновых
полей из уравнений Лагранжа (Д2.18).
1. Возьмем лагранжиан (Д.9). Находим
д^=() dS?= dQ д^? Fdq
dq ' dq,t dt ' dq^x dx
и уравнение движения
d2q _ _
MOt2 дх2 '
которое совпадает, как и следовало ожидать, с (Д2.6).
2. Рассмотрим комплексное скалярное поле ф(г, t) = ^x(r, t)-\-iq2(r,
t). Зададим лагранжиан в виде
* = f (ч'ж ~*'а1)+ i И:в?+'и^'- <Д2Л9>
где га, Н - постоянные, U(г, t) - заданная действительная функция
координат и времени. Лагранжиан (Д2.19) и действие S действительны,
несмотря на то, что ф - комплексная величина. Комплексная ф эквивалентна
двум действительным полям, q1 и q2. Вместо того, чтобы считать
независимыми вариациями dq1 и 5q2, боле удобно выбрать в качестве таковых
их линейные комбинации:
Sq1 + i5q2 = 5ф и Sq1 - i5q2 = 5ф*.
Уравнение (Д2.18) при варьировании действия по ф* примет вид
д% _ d dl? _ d dl?
dф* dt dф*J dxa dф*,a
Вычисляя
= 0. (Д2.20)
d!?_=_ihd± JT! di? ih , д<? П2 дф
dip* 2 dt dip*,t 2 дф*ф 2mdx0'
находим уравнение поля
Это - уравнение Шрёдингера для волновой функции нерелятивистской частицы
в потенциальном поле U(r, t), если /гига - постоянная Планка и масса
частицы.
Вариационный принцип для непрерывных систем
699
Когда лагранжев метод применяется в теории поля, вид лагранжиана не
выводится путем предельного перехода из функции Лагранжа какой-либо
механической системы, как мы это делали в случае лагранжиана (Д2.9), так
как электромагнитное и другие поля не могут быть сведены к механическим
моделям. Вид лагранжиана обычно постулируется на основе тех или иных
соображений. Примеры такого подхода читатель имел выше (где, однако,
лагранжиан был записан без всяких аргументов) и найдет в разделе 4.3, где
подробно обсуждается выбор лагранжиана электромагнитного поля.
Дополнение 3
Общая схема квантовой теории
Настоящее дополнение носит справочный характер и предназначено для
читателей, уже знакомых с основами квантовой механики. Оно не может
заменить подробных учебников по квантовой теории разного уровня и стиля
(см. [Дирак (I960)], [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика], [Фок (1976)],
[Давыдов (1973)], [Мессиа (1978)], [Блохинцев (1961)], [Галицкий и др.
(1992)], [Шифф (1957)] и др.) Проблемы измерений в квантовой физике и ряд
принципиальных вопросов квантовой теории обсуждаются в книгах и обзорах
[Мандельштам (1972)], [Блохинцев (1966)], [Блохинцев (1982)] [Менский
(2001а)], [Менский (20016)], [Липкин (2001)].
Спектр физической величины и волновая функция. Из эксперимента известно,
что физические величины ^ ("наблюдаемые", по Дираку (I960)), присущие
квантовой системе, могут принимать лишь вполне определенные, характерные
для нее собственные значения, совокупность {qi} которых называется
спектром величины <^.10 Спектры бывают дискретными (тогда значения qi
могут быть пронумерованы: qi = q^, где п - целое или иное дискретное
квантовое число), непрерывными и смешанными.
Если система имеет s степеней свободы, часть из которых проявляется на
классическом, другая же (например, спин) на более глубоком квантовом
уровне описания, то можно ввести s одновременно измеримых (с
коммутирующими операторами) величин q = (<71, ..., qs), которые можно
рассматривать как обобщенные координаты системы. Совокупность собственных
значений (по одному на каждую величину <^) образует точку 5-мерного
спектра, а множество всех таких спектральных точек составляет
конфигурационное пространство квантовой системы. Обобщенные координаты
можно ввести различными способами.
Всякое чистое11 состояние системы описывается заданием волновой функции
ijj(q, t), в общем случае комплексной, зависящей от точки конфи-
10Мы будем обозначать единым символом как физическую величину в
абстрактном смысле, так и ее конкретные значения, а также соответствующий
этой величине оператор. В последнем случае будем снабжать символ шляпкой.
11 Об описании более общих - смешанных - состояний см. ниже.
Общая схема квантовой теории
701
гурационного пространства и от времени. Волновая функция имеет
вероятностный смысл, т. е.
t) |2 (Д3.1)
представляет собой вероятность наблюдения значений q = (gi, ..., qs)
